Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ ctg(3/-x)

Gráfico de la función y = ctg(3/-x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /3 \
f(x) = cot|--|
          \-x/
f(x)=cot⁡(3(−1)x)f{\left(x \right)} = \cot{\left(\frac{3}{\left(-1\right) x} \right)} 
f = cot(3/((-x)))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-50005000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cot⁡(3(−1)x)=0\cot{\left(\frac{3}{\left(-1\right) x} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=6πx_{1} = \frac{6}{\pi}
Solución numérica
x1=−0.173623574282068x_{1} = -0.173623574282068
x2=−0.272837045300392x_{2} = -0.272837045300392
x3=0.272837045300392x_{3} = 0.272837045300392
x4=0.636619772367581x_{4} = 0.636619772367581
x5=1.90985931710274x_{5} = 1.90985931710274
x6=0.0909456817667973x_{6} = 0.0909456817667973
x7=−0.636619772367581x_{7} = -0.636619772367581
x8=0.0763943726841098x_{8} = 0.0763943726841098
x9=0.0616083650678305x_{9} = 0.0616083650678305
x10=0.10051891142646x_{10} = 0.10051891142646
x11=−1.90985931710274x_{11} = -1.90985931710274
x12=−0.381971863420549x_{12} = -0.381971863420549
x13=0.0360350814547688x_{13} = 0.0360350814547688
x14=0.0707355302630646x_{14} = 0.0707355302630646
x15=−0.212206590789194x_{15} = -0.212206590789194
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cot(3/((-x))).
cot⁡(3(−1)0)\cot{\left(\frac{3}{\left(-1\right) 0} \right)}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3(−cot⁡2(3(−1)x)−1)x2=0\frac{3 \left(- \cot^{2}{\left(\frac{3}{\left(-1\right) x} \right)} - 1\right)}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
6(1−3cot⁡(3x)x)(cot⁡2(3x)+1)x3=0\frac{6 \left(1 - \frac{3 \cot{\left(\frac{3}{x} \right)}}{x}\right) \left(\cot^{2}{\left(\frac{3}{x} \right)} + 1\right)}{x^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−18568.5468831062x_{1} = -18568.5468831062
x2=−20264.8524144028x_{2} = -20264.8524144028
x3=−36374.6579896951x_{3} = -36374.6579896951
x4=20396.1623937592x_{4} = 20396.1623937592
x5=18699.8714713468x_{5} = 18699.8714713468
x6=11911.6372372385x_{6} = 11911.6372372385
x7=17003.3651128485x_{7} = 17003.3651128485
x8=−15175.2021988789x_{8} = -15175.2021988789
x9=−39765.6466498337x_{9} = -39765.6466498337
x10=14458.0363415154x_{10} = 14458.0363415154
x11=21244.2431572383x_{11} = 21244.2431572383
x12=30571.3888215363x_{12} = 30571.3888215363
x13=−25352.8896436191x_{13} = -25352.8896436191
x14=29723.5571359149x_{14} = 29723.5571359149
x15=26332.084078815x_{15} = 26332.084078815
x16=−32135.7526111521x_{16} = -32135.7526111521
x17=34810.3811847483x_{17} = 34810.3811847483
x18=−33831.3413321083x_{18} = -33831.3413321083
x19=15306.5719278513x_{19} = 15306.5719278513
x20=−29592.2878966624x_{20} = -29592.2878966624
x21=−32983.5518547864x_{21} = -32983.5518547864
x22=28875.7121062475x_{22} = 28875.7121062475
x23=−23656.9923290813x_{23} = -23656.9923290813
x24=39049.1628254482x_{24} = 39049.1628254482
x25=23788.2819111231x_{25} = 23788.2819111231
x26=38201.4199904009x_{26} = 38201.4199904009
x27=−37222.4149146935x_{27} = -37222.4149146935
x28=25484.1719433853x_{28} = 25484.1719433853
x29=42440.0788220274x_{29} = 42440.0788220274
x30=35658.1519676888x_{30} = 35658.1519676888
x31=27179.9770255399x_{31} = 27179.9770255399
x32=−21112.9392045843x_{32} = -21112.9392045843
x33=22092.2873985846x_{33} = 22092.2873985846
x34=−40613.3789056097x_{34} = -40613.3789056097
x35=−42308.8280340152x_{35} = -42308.8280340152
x36=−38917.9088198308x_{36} = -38917.9088198308
x37=−22809.0053164295x_{37} = -22809.0053164295
x38=41592.3574479876x_{38} = 41592.3574479876
x39=−21960.9887913123x_{39} = -21960.9887913123
x40=32267.0163641449x_{40} = 32267.0163641449
x41=40744.6312019581x_{41} = 40744.6312019581
x42=17851.6490495235x_{42} = 17851.6490495235
x43=−24504.9528880537x_{43} = -24504.9528880537
x44=−28744.4407079697x_{44} = -28744.4407079697
x45=−12629.1654576715x_{45} = -12629.1654576715
x46=37353.6708678511x_{46} = 37353.6708678511
x47=16155.0100027241x_{47} = 16155.0100027241
x48=−34679.1217587997x_{48} = -34679.1217587997
x49=13609.3850872909x_{49} = 13609.3850872909
x50=39896.8997735524x_{50} = 39896.8997735524
x51=24636.2386408291x_{51} = 24636.2386408291
x52=−14326.6500854012x_{52} = -14326.6500854012
x53=19548.0403654015x_{53} = 19548.0403654015
x54=28027.852522909x_{54} = 28027.852522909
x55=−31287.9428080319x_{55} = -31287.9428080319
x56=−30440.1215639826x_{56} = -30440.1215639826
x57=−13477.9791163911x_{57} = -13477.9791163911
x58=12760.5952061217x_{58} = 12760.5952061217
x59=33962.6020927706x_{59} = 33962.6020927706
x60=36505.915020059x_{60} = 36505.915020059
x61=−27048.7006865671x_{61} = -27048.7006865671
x62=−38070.1650434577x_{62} = -38070.1650434577
x63=−35526.8937822886x_{63} = -35526.8937822886
x64=−11780.1784513089x_{64} = -11780.1784513089
x65=−19416.7235571513x_{65} = -19416.7235571513
x66=−16872.0213235579x_{66} = -16872.0213235579
x67=−17720.3155450794x_{67} = -17720.3155450794
x68=33114.814054104x_{68} = 33114.814054104
x69=22940.2991607022x_{69} = 22940.2991607022
x70=−27896.5787664774x_{70} = -27896.5787664774
x71=−16023.654264919x_{71} = -16023.654264919
x72=−41461.1059288852x_{72} = -41461.1059288852
x73=−26200.8049035202x_{73} = -26200.8049035202
x74=31419.2082423144x_{74} = 31419.2082423144
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

True

True

- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[38201.4199904009,∞)\left[38201.4199904009, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−42308.8280340152]\left(-\infty, -42308.8280340152\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞cot⁡(3(−1)x)=∞\lim_{x \to -\infty} \cot{\left(\frac{3}{\left(-1\right) x} \right)} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞cot⁡(3(−1)x)=−∞\lim_{x \to \infty} \cot{\left(\frac{3}{\left(-1\right) x} \right)} = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cot(3/((-x))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cot⁡(3(−1)x)x)=−13\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cot{\left(\frac{3}{\left(-1\right) x} \right)}}{x}\right) = - \frac{1}{3}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−x3y = - \frac{x}{3}
lim⁡x→∞(cot⁡(3(−1)x)x)=−13\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cot{\left(\frac{3}{\left(-1\right) x} \right)}}{x}\right) = - \frac{1}{3}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=−x3y = - \frac{x}{3}
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cot⁡(3(−1)x)=cot⁡(3x)\cot{\left(\frac{3}{\left(-1\right) x} \right)} = \cot{\left(\frac{3}{x} \right)}
- No
cot⁡(3(−1)x)=−cot⁡(3x)\cot{\left(\frac{3}{\left(-1\right) x} \right)} = - \cot{\left(\frac{3}{x} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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