Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ ctg^2x/(1-sinx)

Gráfico de la función y = ctg^2x/(1-sinx)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           2     
        cot (x)  
f(x) = ----------
       1 - sin(x)
f(x)=cot⁡2(x)1−sin⁡(x)f{\left(x \right)} = \frac{\cot^{2}{\left(x \right)}}{1 - \sin{\left(x \right)}} 
f = cot(x)^2/(1 - sin(x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100500000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1.5707963267949x_{1} = 1.5707963267949
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cot⁡2(x)1−sin⁡(x)=0\frac{\cot^{2}{\left(x \right)}}{1 - \sin{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=29.8451303343455x_{1} = 29.8451303343455
x2=86.3937978820204x_{2} = 86.3937978820204
x3=54.9778706524075x_{3} = 54.9778706524075
x4=−83.2522057032054x_{4} = -83.2522057032054
x5=−20.4203518918673x_{5} = -20.4203518918673
x6=10.9955734560039x_{6} = 10.9955734560039
x7=42.4115007208633x_{7} = 42.4115007208633
x8=−7.85398190692698x_{8} = -7.85398190692698
x9=−89.5353907636473x_{9} = -89.5353907636473
x10=42.4115000802774x_{10} = 42.4115000802774
x11=92.6769829752567x_{11} = 92.6769829752567
x12=−26.7035366815322x_{12} = -26.7035366815322
x13=67.5442424512984x_{13} = 67.5442424512984
x14=23.5619452792029x_{14} = 23.5619452792029
x15=−1.57079644043846x_{15} = -1.57079644043846
x16=61.2610577280671x_{16} = 61.2610577280671
x17=−39.2699085322023x_{17} = -39.2699085322023
x18=36.1283157423926x_{18} = 36.1283157423926
x19=73.8274274971964x_{19} = 73.8274274971964
x20=−76.9690209467468x_{20} = -76.9690209467468
x21=98.9601678458735x_{21} = 98.9601678458735
x22=−95.8185758677487x_{22} = -95.8185758677487
x23=−83.2522049784497x_{23} = -83.2522049784497
x24=42.4114998709236x_{24} = 42.4114998709236
x25=17.278760521352x_{25} = 17.278760521352
x26=73.8274278988752x_{26} = 73.8274278988752
x27=−51.8362786876967x_{27} = -51.8362786876967
x28=−7.85398138120039x_{28} = -7.85398138120039
x29=−70.6858338809263x_{29} = -70.6858338809263
x30=−45.5530936019285x_{30} = -45.5530936019285
x31=80.1106131078506x_{31} = 80.1106131078506
x32=86.3937977948501x_{32} = 86.3937977948501
x33=4.71238863783119x_{33} = 4.71238863783119
x34=17.2787600767899x_{34} = 17.2787600767899
x35=−32.9867237436118x_{35} = -32.9867237436118
x36=−51.8362783459258x_{36} = -51.8362783459258
x37=−64.4026490619868x_{37} = -64.4026490619868
x38=48.6946858069631x_{38} = 48.6946858069631
x39=−7.8539814893153x_{39} = -7.8539814893153
x40=−14.137166828418x_{40} = -14.137166828418
x41=−58.1194639911848x_{41} = -58.1194639911848
x42=−14.1371682421482x_{42} = -14.1371682421482
x43=−64.4026502366883x_{43} = -64.4026502366883
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cot(x)^2/(1 - sin(x)).
cot⁡2(0)1−sin⁡(0)\frac{\cot^{2}{\left(0 \right)}}{1 - \sin{\left(0 \right)}}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(−2cot⁡2(x)−2)cot⁡(x)1−sin⁡(x)+cos⁡(x)cot⁡2(x)(1−sin⁡(x))2=0\frac{\left(- 2 \cot^{2}{\left(x \right)} - 2\right) \cot{\left(x \right)}}{1 - \sin{\left(x \right)}} + \frac{\cos{\left(x \right)} \cot^{2}{\left(x \right)}}{\left(1 - \sin{\left(x \right)}\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2(cot⁡2(x)+1)(3cot⁡2(x)+1)+(sin⁡(x)+2cos⁡2(x)sin⁡(x)−1)cot⁡2(x)sin⁡(x)−1+4(cot⁡2(x)+1)cos⁡(x)cot⁡(x)sin⁡(x)−1sin⁡(x)−1=0- \frac{2 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(3 \cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + \frac{\left(\sin{\left(x \right)} + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 1}\right) \cot^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 1} + \frac{4 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} - 1}}{\sin{\left(x \right)} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1.5707963267949x_{1} = 1.5707963267949
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞(cot⁡2(x)1−sin⁡(x))y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cot^{2}{\left(x \right)}}{1 - \sin{\left(x \right)}}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞(cot⁡2(x)1−sin⁡(x))y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cot^{2}{\left(x \right)}}{1 - \sin{\left(x \right)}}\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cot(x)^2/(1 - sin(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(cot⁡2(x)x(1−sin⁡(x)))y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cot^{2}{\left(x \right)}}{x \left(1 - \sin{\left(x \right)}\right)}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(cot⁡2(x)x(1−sin⁡(x)))y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cot^{2}{\left(x \right)}}{x \left(1 - \sin{\left(x \right)}\right)}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cot⁡2(x)1−sin⁡(x)=cot⁡2(x)sin⁡(x)+1\frac{\cot^{2}{\left(x \right)}}{1 - \sin{\left(x \right)}} = \frac{\cot^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + 1}
- No
cot⁡2(x)1−sin⁡(x)=−cot⁡2(x)sin⁡(x)+1\frac{\cot^{2}{\left(x \right)}}{1 - \sin{\left(x \right)}} = - \frac{\cot^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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