Sr Examen

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Gráfico de la función y = 1-2*log(2)+2*log(2+x)+x*(-1/2-log(2))+x*log(2+x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
f(x) = 1 - 2*log(2) + 2*log(2 + x) + x*(-1/2 - log(2)) + x*log(2 + x)
$$f{\left(x \right)} = x \log{\left(x + 2 \right)} + \left(x \left(- \log{\left(2 \right)} - \frac{1}{2}\right) + \left(2 \log{\left(x + 2 \right)} + \left(1 - 2 \log{\left(2 \right)}\right)\right)\right)$$
f = x*log(x + 2) + x*(-log(2) - 1/2) + 2*log(x + 2) + 1 - 2*log(2)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x \log{\left(x + 2 \right)} + \left(x \left(- \log{\left(2 \right)} - \frac{1}{2}\right) + \left(2 \log{\left(x + 2 \right)} + \left(1 - 2 \log{\left(2 \right)}\right)\right)\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1 - 2*log(2) + 2*log(2 + x) + x*(-1/2 - log(2)) + x*log(2 + x).
$$0 \log{\left(2 \right)} + \left(0 \left(- \log{\left(2 \right)} - \frac{1}{2}\right) + \left(\left(1 - 2 \log{\left(2 \right)}\right) + 2 \log{\left(2 \right)}\right)\right)$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{x}{x + 2} + \log{\left(x + 2 \right)} - \log{\left(2 \right)} - \frac{1}{2} + \frac{2}{x + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2 + \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$$
Signos de extremos en los puntos:
         -1/2                      /   -1/2\   /        -1/2\                   /        -1/2\    /   -1/2\ 
(-2 + 2*e   , 1 - 2*log(2) + 2*log\2*e    / + \-2 + 2*e    /*(-1/2 - log(2)) + \-2 + 2*e    /*log\2*e    /)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -2 + \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[-2 + \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -2 + \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- \frac{x}{x + 2} + 2 - \frac{2}{x + 2}}{x + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \log{\left(x + 2 \right)} + \left(x \left(- \log{\left(2 \right)} - \frac{1}{2}\right) + \left(2 \log{\left(x + 2 \right)} + \left(1 - 2 \log{\left(2 \right)}\right)\right)\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \log{\left(x + 2 \right)} + \left(x \left(- \log{\left(2 \right)} - \frac{1}{2}\right) + \left(2 \log{\left(x + 2 \right)} + \left(1 - 2 \log{\left(2 \right)}\right)\right)\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1 - 2*log(2) + 2*log(2 + x) + x*(-1/2 - log(2)) + x*log(2 + x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \log{\left(x + 2 \right)} + \left(x \left(- \log{\left(2 \right)} - \frac{1}{2}\right) + \left(2 \log{\left(x + 2 \right)} + \left(1 - 2 \log{\left(2 \right)}\right)\right)\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \log{\left(x + 2 \right)} + \left(x \left(- \log{\left(2 \right)} - \frac{1}{2}\right) + \left(2 \log{\left(x + 2 \right)} + \left(1 - 2 \log{\left(2 \right)}\right)\right)\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$x \log{\left(x + 2 \right)} + \left(x \left(- \log{\left(2 \right)} - \frac{1}{2}\right) + \left(2 \log{\left(x + 2 \right)} + \left(1 - 2 \log{\left(2 \right)}\right)\right)\right) = - x \log{\left(2 - x \right)} - x \left(- \log{\left(2 \right)} - \frac{1}{2}\right) + 2 \log{\left(2 - x \right)} - 2 \log{\left(2 \right)} + 1$$
- No
$$x \log{\left(x + 2 \right)} + \left(x \left(- \log{\left(2 \right)} - \frac{1}{2}\right) + \left(2 \log{\left(x + 2 \right)} + \left(1 - 2 \log{\left(2 \right)}\right)\right)\right) = x \log{\left(2 - x \right)} + x \left(- \log{\left(2 \right)} - \frac{1}{2}\right) - 2 \log{\left(2 - x \right)} - 1 + 2 \log{\left(2 \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar