Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ f(x)=sqrt2cos4x+sqrt2

Gráfico de la función y = f(x)=sqrt2cos4x+sqrt2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         ___              ___
f(x) = \/ 2 *cos(4*x) + \/ 2
f(x)=2cos⁡(4x)+2f{\left(x \right)} = \sqrt{2} \cos{\left(4 x \right)} + \sqrt{2} 
f = sqrt(2)*cos(4*x) + sqrt(2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101005
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2cos⁡(4x)+2=0\sqrt{2} \cos{\left(4 x \right)} + \sqrt{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}
Solución numérica
x1=−33.7721211587531x_{1} = -33.7721211587531
x2=99.7455668738049x_{2} = 99.7455668738049
x3=46.3384915861013x_{3} = 46.3384915861013
x4=93.462381626966x_{4} = 93.462381626966
x5=62.0464548185713x_{5} = 62.0464548185713
x6=−98.1747703186947x_{6} = -98.1747703186947
x7=3.92699087784889x_{7} = 3.92699087784889
x8=32.2013247418649x_{8} = 32.2013247418649
x9=0.785398118063847x_{9} = 0.785398118063847
x10=24.347343006498x_{10} = 24.347343006498
x11=−13.3517688688202x_{11} = -13.3517688688202
x12=−27.4889358330644x_{12} = -27.4889358330644
x13=5.49778696422816x_{13} = 5.49778696422816
x14=10.2101761577675x_{14} = 10.2101761577675
x15=19.6349541951516x_{15} = 19.6349541951516
x16=−76.1836217409515x_{16} = -76.1836217409515
x17=18.0641575853046x_{17} = 18.0641575853046
x18=77.7544182976932x_{18} = 77.7544182976932
x19=−63.6172513104641x_{19} = -63.6172513104641
x20=90.3207887457625x_{20} = 90.3207887457625
x21=47.9092880382216x_{21} = 47.9092880382216
x22=85.6083999066255x_{22} = 85.6083999066255
x23=−11.780972425667x_{23} = -11.780972425667
x24=63.6172513369298x_{24} = 63.6172513369298
x25=−98.1747705479865x_{25} = -98.1747705479865
x26=16.4933613203203x_{26} = 16.4933613203203
x27=−35.3429174368834x_{27} = -35.3429174368834
x28=−57.3340660035604x_{28} = -57.3340660035604
x29=76.1836219127145x_{29} = 76.1836219127145
x30=−41.6261027314388x_{30} = -41.6261027314388
x31=22.7765470504813x_{31} = 22.7765470504813
x32=−24.3473429491357x_{32} = -24.3473429491357
x33=84.0376034192262x_{33} = 84.0376034192262
x34=−93.4623815613976x_{34} = -93.4623815613976
x35=−18.0641577028072x_{35} = -18.0641577028072
x36=60.4756584745212x_{36} = 60.4756584745212
x37=−54.1924731634027x_{37} = -54.1924731634027
x38=98.1747704999445x_{38} = 98.1747704999445
x39=−40.0553062838236x_{39} = -40.0553062838236
x40=−68.3296400953708x_{40} = -68.3296400953708
x41=96.6039739860399x_{41} = 96.6039739860399
x42=−16.4933615591447x_{42} = -16.4933615591447
x43=−82.4668071752083x_{43} = -82.4668071752083
x44=55.7632697213615x_{44} = 55.7632697213615
x45=−19.6349541522704x_{45} = -19.6349541522704
x46=−49.4800844094223x_{46} = -49.4800844094223
x47=71.4712325592813x_{47} = 71.4712325592813
x48=69.9004366179912x_{48} = 69.9004366179912
x49=−84.0376034471411x_{49} = -84.0376034471411
x50=−33.7721210085549x_{50} = -33.7721210085549
x51=40.055306209136x_{51} = 40.055306209136
x52=−62.0464548652478x_{52} = -62.0464548652478
x53=27.4889354808973x_{53} = 27.4889354808973
x54=−55.763269590985x_{54} = -55.763269590985
x55=−46.3384915220366x_{55} = -46.3384915220366
x56=25.918139458182x_{56} = 25.918139458182
x57=−79.325214568582x_{57} = -79.325214568582
x58=91.8915851975093x_{58} = 91.8915851975093
x59=−99.7455667547305x_{59} = -99.7455667547305
x60=82.4668070519044x_{60} = 82.4668070519044
x61=−32.2013245860493x_{61} = -32.2013245860493
x62=66.7588441131007x_{62} = 66.7588441131007
x63=−71.4712329855388x_{63} = -71.4712329855388
x64=54.1924733267788x_{64} = 54.1924733267788
x65=8.63937970041344x_{65} = 8.63937970041344
x66=−0.785398166130751x_{66} = -0.785398166130751
x67=49.4800839996026x_{67} = 49.4800839996026
x68=68.3296401658547x_{68} = 68.3296401658547
x69=33.7721211448164x_{69} = 33.7721211448164
x70=−465.741111003319x_{70} = -465.741111003319
x71=52.6216768417318x_{71} = 52.6216768417318
x72=−85.608399889346x_{72} = -85.608399889346
x73=2.35619442704144x_{73} = 2.35619442704144
x74=88.7499926302988x_{74} = 88.7499926302988
x75=74.6128254135616x_{75} = 74.6128254135616
x76=41.6261027663993x_{76} = 41.6261027663993
x77=−90.3207886690967x_{77} = -90.3207886690967
x78=44.7676955973049x_{78} = 44.7676955973049
x79=−10.210176008893x_{79} = -10.210176008893
x80=−5.49778725647941x_{80} = -5.49778725647941
x81=−19.6349539733882x_{81} = -19.6349539733882
x82=−3.92699105526517x_{82} = -3.92699105526517
x83=−77.7544181730257x_{83} = -77.7544181730257
x84=30.6305282706443x_{84} = 30.6305282706443
x85=−2.35619437671896x_{85} = -2.35619437671896
x86=11.7809725680634x_{86} = 11.7809725680634
x87=−38.4845100906754x_{87} = -38.4845100906754
x88=38.4845098973237x_{88} = 38.4845098973237
x89=−60.4756586297418x_{89} = -60.4756586297418
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(2)*cos(4*x) + sqrt(2).
2cos⁡(0⋅4)+2\sqrt{2} \cos{\left(0 \cdot 4 \right)} + \sqrt{2}
Resultado:
f(0)=22f{\left(0 \right)} = 2 \sqrt{2}
Punto:
(0, 2*sqrt(2))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−42sin⁡(4x)=0- 4 \sqrt{2} \sin{\left(4 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=π4x_{2} = \frac{\pi}{4}
Signos de extremos en los puntos:
        ___ 
(0, 2*\/ 2 )

 pi    
(--, 0)
 4


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]∪[π4,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[0,π4]\left[0, \frac{\pi}{4}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−162cos⁡(4x)=0- 16 \sqrt{2} \cos{\left(4 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π8x_{1} = \frac{\pi}{8}
x2=3π8x_{2} = \frac{3 \pi}{8}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π8,3π8]\left[\frac{\pi}{8}, \frac{3 \pi}{8}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,π8]∪[3π8,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{8}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{8}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(2cos⁡(4x)+2)=2⟨−1,1⟩+2\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{2} \cos{\left(4 x \right)} + \sqrt{2}\right) = \sqrt{2} \left\langle -1, 1\right\rangle + \sqrt{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=2⟨−1,1⟩+2y = \sqrt{2} \left\langle -1, 1\right\rangle + \sqrt{2}
lim⁡x→∞(2cos⁡(4x)+2)=2⟨−1,1⟩+2\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{2} \cos{\left(4 x \right)} + \sqrt{2}\right) = \sqrt{2} \left\langle -1, 1\right\rangle + \sqrt{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=2⟨−1,1⟩+2y = \sqrt{2} \left\langle -1, 1\right\rangle + \sqrt{2}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(2)*cos(4*x) + sqrt(2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(2cos⁡(4x)+2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{2} \cos{\left(4 x \right)} + \sqrt{2}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(2cos⁡(4x)+2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{2} \cos{\left(4 x \right)} + \sqrt{2}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
2cos⁡(4x)+2=2cos⁡(4x)+2\sqrt{2} \cos{\left(4 x \right)} + \sqrt{2} = \sqrt{2} \cos{\left(4 x \right)} + \sqrt{2}
- Sí
2cos⁡(4x)+2=−2cos⁡(4x)−2\sqrt{2} \cos{\left(4 x \right)} + \sqrt{2} = - \sqrt{2} \cos{\left(4 x \right)} - \sqrt{2}
- No
es decir, función
es
par
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