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Trazado el gráfico de la función/ 3/2-exp(t*sqrt(1+sqrt(2)))-exp(t*sqrt(1-sqrt(2)))-exp(-t*sqrt(1+sqrt(2)))-exp(-t*sqrt(1-sqrt(2)))

Gráfico de la función y = 3/2-exp(t*sqrt(1+sqrt(2)))-exp(t*sqrt(1-sqrt(2)))-exp(-t*sqrt(1+sqrt(2)))-exp(-t*sqrt(1-sqrt(2)))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                 ___________         ___________          ___________          ___________
                /       ___         /       ___          /       ___          /       ___ 
       3    t*\/  1 + \/ 2      t*\/  1 - \/ 2      -t*\/  1 + \/ 2      -t*\/  1 - \/ 2  
f(t) = - - e                 - e                 - e                  - e                 
       2
f(t)=(((32−et1+2)−et1−2)−e−t1+2)−e−t1−2f{\left(t \right)} = \left(\left(\left(\frac{3}{2} - e^{t \sqrt{1 + \sqrt{2}}}\right) - e^{t \sqrt{1 - \sqrt{2}}}\right) - e^{- t \sqrt{1 + \sqrt{2}}}\right) - e^{- t \sqrt{1 - \sqrt{2}}} 
f = 3/2 - exp(t*sqrt(1 + sqrt(2))) - exp(t*sqrt(1 - sqrt(2))) - exp((-t)*sqrt(1 + sqrt(2))) - exp((-t)*sqrt(1 - sqrt(2)))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100000005000000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje T con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(((32−et1+2)−et1−2)−e−t1+2)−e−t1−2=0\left(\left(\left(\frac{3}{2} - e^{t \sqrt{1 + \sqrt{2}}}\right) - e^{t \sqrt{1 - \sqrt{2}}}\right) - e^{- t \sqrt{1 + \sqrt{2}}}\right) - e^{- t \sqrt{1 - \sqrt{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje T
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando t es igual a 0:
sustituimos t = 0 en 3/2 - exp(t*sqrt(1 + sqrt(2))) - exp(t*sqrt(1 - sqrt(2))) - exp((-t)*sqrt(1 + sqrt(2))) - exp((-t)*sqrt(1 - sqrt(2))).
(−e−01+2+(−e01−2+(32−e01+2)))−e−01−2\left(- e^{- 0 \sqrt{1 + \sqrt{2}}} + \left(- e^{0 \sqrt{1 - \sqrt{2}}} + \left(\frac{3}{2} - e^{0 \sqrt{1 + \sqrt{2}}}\right)\right)\right) - e^{- 0 \sqrt{1 - \sqrt{2}}}
Resultado:
f(0)=−52f{\left(0 \right)} = - \frac{5}{2}
Punto:
(0, -5/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddtf(t)=0\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddtf(t)=\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} =
primera derivada
1−2e−t1−2+1+2e−t1+2−1−2et1−2−1+2et1+2=0\sqrt{1 - \sqrt{2}} e^{- t \sqrt{1 - \sqrt{2}}} + \sqrt{1 + \sqrt{2}} e^{- t \sqrt{1 + \sqrt{2}}} - \sqrt{1 - \sqrt{2}} e^{t \sqrt{1 - \sqrt{2}}} - \sqrt{1 + \sqrt{2}} e^{t \sqrt{1 + \sqrt{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
t1=0t_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(0, -5/2)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
t1=0t_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Crece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dt2f(t)=0\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dt2f(t)=\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} =
segunda derivada
−((1−2)et1−2+(1+2)et1+2+(1+2)e−t1+2+(1−2)e−t1−2)=0- (\left(1 - \sqrt{2}\right) e^{t \sqrt{1 - \sqrt{2}}} + \left(1 + \sqrt{2}\right) e^{t \sqrt{1 + \sqrt{2}}} + \left(1 + \sqrt{2}\right) e^{- t \sqrt{1 + \sqrt{2}}} + \left(1 - \sqrt{2}\right) e^{- t \sqrt{1 - \sqrt{2}}}) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con t->+oo y t->-oo
No se ha logrado calcular el límite a la izquierda
lim⁡t→−∞((((32−et1+2)−et1−2)−e−t1+2)−e−t1−2)\lim_{t \to -\infty}\left(\left(\left(\left(\frac{3}{2} - e^{t \sqrt{1 + \sqrt{2}}}\right) - e^{t \sqrt{1 - \sqrt{2}}}\right) - e^{- t \sqrt{1 + \sqrt{2}}}\right) - e^{- t \sqrt{1 - \sqrt{2}}}\right)
No se ha logrado calcular el límite a la derecha
lim⁡t→∞((((32−et1+2)−et1−2)−e−t1+2)−e−t1−2)\lim_{t \to \infty}\left(\left(\left(\left(\frac{3}{2} - e^{t \sqrt{1 + \sqrt{2}}}\right) - e^{t \sqrt{1 - \sqrt{2}}}\right) - e^{- t \sqrt{1 + \sqrt{2}}}\right) - e^{- t \sqrt{1 - \sqrt{2}}}\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 3/2 - exp(t*sqrt(1 + sqrt(2))) - exp(t*sqrt(1 - sqrt(2))) - exp((-t)*sqrt(1 + sqrt(2))) - exp((-t)*sqrt(1 - sqrt(2))), dividida por t con t->+oo y t ->-oo
No se ha logrado calcular el límite a la izquierda
lim⁡t→−∞((((32−et1+2)−et1−2)−e−t1+2)−e−t1−2t)\lim_{t \to -\infty}\left(\frac{\left(\left(\left(\frac{3}{2} - e^{t \sqrt{1 + \sqrt{2}}}\right) - e^{t \sqrt{1 - \sqrt{2}}}\right) - e^{- t \sqrt{1 + \sqrt{2}}}\right) - e^{- t \sqrt{1 - \sqrt{2}}}}{t}\right)
No se ha logrado calcular el límite a la derecha
lim⁡t→∞((((32−et1+2)−et1−2)−e−t1+2)−e−t1−2t)\lim_{t \to \infty}\left(\frac{\left(\left(\left(\frac{3}{2} - e^{t \sqrt{1 + \sqrt{2}}}\right) - e^{t \sqrt{1 - \sqrt{2}}}\right) - e^{- t \sqrt{1 + \sqrt{2}}}\right) - e^{- t \sqrt{1 - \sqrt{2}}}}{t}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-t) и f = -f(-t).
Pues, comprobamos:
(((32−et1+2)−et1−2)−e−t1+2)−e−t1−2=−et1−2−et1+2+32−e−t1+2−e−t1−2\left(\left(\left(\frac{3}{2} - e^{t \sqrt{1 + \sqrt{2}}}\right) - e^{t \sqrt{1 - \sqrt{2}}}\right) - e^{- t \sqrt{1 + \sqrt{2}}}\right) - e^{- t \sqrt{1 - \sqrt{2}}} = - e^{t \sqrt{1 - \sqrt{2}}} - e^{t \sqrt{1 + \sqrt{2}}} + \frac{3}{2} - e^{- t \sqrt{1 + \sqrt{2}}} - e^{- t \sqrt{1 - \sqrt{2}}}
- No
(((32−et1+2)−et1−2)−e−t1+2)−e−t1−2=et1−2+et1+2−32+e−t1+2+e−t1−2\left(\left(\left(\frac{3}{2} - e^{t \sqrt{1 + \sqrt{2}}}\right) - e^{t \sqrt{1 - \sqrt{2}}}\right) - e^{- t \sqrt{1 + \sqrt{2}}}\right) - e^{- t \sqrt{1 - \sqrt{2}}} = e^{t \sqrt{1 - \sqrt{2}}} + e^{t \sqrt{1 + \sqrt{2}}} - \frac{3}{2} + e^{- t \sqrt{1 + \sqrt{2}}} + e^{- t \sqrt{1 - \sqrt{2}}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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