Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (-1-x)*exp(-x/5)

Gráfico de la función y = (-1-x)*exp(-x/5)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                 -x 
                 ---
                  5 
f(x) = (-1 - x)*e
f(x)=(−x−1)e(−1)x5f{\left(x \right)} = \left(- x - 1\right) e^{\frac{\left(-1\right) x}{5}} 
f = (-x - 1)*exp((-x)/5)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-50100
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−x−1)e(−1)x5=0\left(- x - 1\right) e^{\frac{\left(-1\right) x}{5}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1x_{1} = -1
Solución numérica
x1=189.629120965796x_{1} = 189.629120965796
x2=191.554287116462x_{2} = 191.554287116462
x3=181.958237204904x_{3} = 181.958237204904
x4=207.039998326141x_{4} = 207.039998326141
x5=174.344906969032x_{5} = 174.344906969032
x6=310.898208615475x_{6} = 310.898208615475
x7=−1x_{7} = -1
x8=183.871123136977x_{8} = 183.871123136977
x9=170.565123120089x_{9} = 170.565123120089
x10=187.706756562942x_{10} = 187.706756562942
x11=193.482099195659x_{11} = 193.482099195659
x12=180.048922786556x_{12} = 180.048922786556
x13=166.807023967719x_{13} = 166.807023967719
x14=168.683152871037x_{14} = 168.683152871037
x15=176.241983779183x_{15} = 176.241983779183
x16=203.156160683083x_{16} = 203.156160683083
x17=195.41241317948x_{17} = 195.41241317948
x18=172.452503625752x_{18} = 172.452503625752
x19=163.074274417909x_{19} = 163.074274417909
x20=208.984575785025x_{20} = 208.984575785025
x21=185.787362806661x_{21} = 185.787362806661
x22=164.93721786613x_{22} = 164.93721786613
x23=197.345095707711x_{23} = 197.345095707711
x24=178.143417985797x_{24} = 178.143417985797
x25=199.280023083437x_{25} = 199.280023083437
x26=201.217080386117x_{26} = 201.217080386117
x27=205.097164326672x_{27} = 205.097164326672
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (-1 - x)*exp((-x)/5).
(−1−0)e(−1)05\left(-1 - 0\right) e^{\frac{\left(-1\right) 0}{5}}
Resultado:
f(0)=−1f{\left(0 \right)} = -1
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−(−x−1)e(−1)x55−e(−1)x5=0- \frac{\left(- x - 1\right) e^{\frac{\left(-1\right) x}{5}}}{5} - e^{\frac{\left(-1\right) x}{5}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=4x_{1} = 4
Signos de extremos en los puntos:
        -4/5 
(4, -5*e    )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=4x_{1} = 4
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[4,∞)\left[4, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,4]\left(-\infty, 4\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(9−x)e−x525=0\frac{\left(9 - x\right) e^{- \frac{x}{5}}}{25} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=9x_{1} = 9

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,9]\left(-\infty, 9\right]
Convexa en los intervalos
[9,∞)\left[9, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−x−1)e(−1)x5)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- x - 1\right) e^{\frac{\left(-1\right) x}{5}}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((−x−1)e(−1)x5)=0\lim_{x \to \infty}\left(\left(- x - 1\right) e^{\frac{\left(-1\right) x}{5}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-1 - x)*exp((-x)/5), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−x−1)e(−1)x5x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- x - 1\right) e^{\frac{\left(-1\right) x}{5}}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((−x−1)e(−1)x5x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x - 1\right) e^{\frac{\left(-1\right) x}{5}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−x−1)e(−1)x5=(x−1)ex5\left(- x - 1\right) e^{\frac{\left(-1\right) x}{5}} = \left(x - 1\right) e^{\frac{x}{5}}
- No
(−x−1)e(−1)x5=−(x−1)ex5\left(- x - 1\right) e^{\frac{\left(-1\right) x}{5}} = - \left(x - 1\right) e^{\frac{x}{5}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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