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Trazado el gráfico de la función/ 1/(sin(x)^2)

Gráfico de la función y = 1/(sin(x)^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          1   
f(x) = -------
          2   
       sin (x)
f(x)=1sin⁡2(x)f{\left(x \right)} = \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}} 
f = 1/(sin(x)^2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100500000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
x2=3.14159265358979x_{2} = 3.14159265358979
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
1sin⁡2(x)=0\frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1/(sin(x)^2).
1sin⁡2(0)\frac{1}{\sin^{2}{\left(0 \right)}}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(1+3cos⁡2(x)sin⁡2(x))sin⁡2(x)=0\frac{2 \left(1 + \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right)}{\sin^{2}{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
x2=3.14159265358979x_{2} = 3.14159265358979
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞1sin⁡2(x)=⟨0,∞⟩\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}} = \left\langle 0, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨0,∞⟩y = \left\langle 0, \infty\right\rangle
lim⁡x→∞1sin⁡2(x)=⟨0,∞⟩\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}} = \left\langle 0, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨0,∞⟩y = \left\langle 0, \infty\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1/(sin(x)^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(1xsin⁡2(x))y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \sin^{2}{\left(x \right)}}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(1xsin⁡2(x))y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \sin^{2}{\left(x \right)}}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
1sin⁡2(x)=1sin⁡2(x)\frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}} = \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}
- Sí
1sin⁡2(x)=−1sin⁡2(x)\frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}
- No
es decir, función
es
par
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