Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^2+x+1
-
y=x^3-3x^2+4
-
e^x/x
-
5-x
-
Expresiones idénticas
- sqrt(x+ uno /x- uno)
- raíz cuadrada de (x más 1 dividir por x menos 1)
- raíz cuadrada de (x más uno dividir por x menos uno)
- √(x+1/x-1)
- sqrtx+1/x-1
- sqrt(x+1 dividir por x-1)
-
Expresiones semejantes
- sqrt(x+1)/(x-1)
- sqrt((x+1)/(x-1))
- sqrt(x+1/x+1)
- sqrt(x-1/x-1)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x)+5
- sqrt(5*x-x^2)
- sqrtx
- sqrt(x)+x^2
- sqrt(x+2)
Gráfico de la función y = sqrt(x+1/x-1)
Solución
Ha introducido
[src]
___________
/ 1
f(x) = / x + - - 1
\/ x
$$f{\left(x \right)} = \sqrt{\left(x + \frac{1}{x}\right) - 1}$$
f = sqrt(x + 1/x - 1)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt{\left(x + \frac{1}{x}\right) - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt{\left(x + \frac{1}{x}\right) - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2 x^{2}}}{\sqrt{\left(x + \frac{1}{x}\right) - 1}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 1$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[1, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 1\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2 x^{2}}}{\sqrt{\left(x + \frac{1}{x}\right) - 1}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Signos de extremos en los puntos:
___ (-1, I*\/ 3 )
(1, 1)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 1$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[1, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 1\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- \frac{\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)^{2}}{4 \left(x - 1 + \frac{1}{x}\right)} + \frac{1}{x^{3}}}{\sqrt{x - 1 + \frac{1}{x}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt[3]{6}}}{2} + \frac{\sqrt{2 \sqrt[3]{6} + 8 + \frac{8}{\sqrt{4 - 2 \sqrt[3]{6}}}}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{2 \sqrt[3]{6} + 8 + \frac{8}{\sqrt{4 - 2 \sqrt[3]{6}}}}}{2} - \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt[3]{6}}}{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \frac{\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)^{2}}{4 \left(x - 1 + \frac{1}{x}\right)} + \frac{1}{x^{3}}}{\sqrt{x - 1 + \frac{1}{x}}}\right) = \infty i$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \frac{\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)^{2}}{4 \left(x - 1 + \frac{1}{x}\right)} + \frac{1}{x^{3}}}{\sqrt{x - 1 + \frac{1}{x}}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt[3]{6}}}{2} + \frac{\sqrt{\left|{2 \sqrt[3]{6} + 8 + \frac{8}{\sqrt{4 - 2 \sqrt[3]{6}}}}\right|}}{2}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt[3]{6}}}{2} + \frac{\sqrt{\left|{2 \sqrt[3]{6} + 8 + \frac{8}{\sqrt{4 - 2 \sqrt[3]{6}}}}\right|}}{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- \frac{\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)^{2}}{4 \left(x - 1 + \frac{1}{x}\right)} + \frac{1}{x^{3}}}{\sqrt{x - 1 + \frac{1}{x}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt[3]{6}}}{2} + \frac{\sqrt{2 \sqrt[3]{6} + 8 + \frac{8}{\sqrt{4 - 2 \sqrt[3]{6}}}}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{2 \sqrt[3]{6} + 8 + \frac{8}{\sqrt{4 - 2 \sqrt[3]{6}}}}}{2} - \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt[3]{6}}}{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \frac{\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)^{2}}{4 \left(x - 1 + \frac{1}{x}\right)} + \frac{1}{x^{3}}}{\sqrt{x - 1 + \frac{1}{x}}}\right) = \infty i$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \frac{\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)^{2}}{4 \left(x - 1 + \frac{1}{x}\right)} + \frac{1}{x^{3}}}{\sqrt{x - 1 + \frac{1}{x}}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt[3]{6}}}{2} + \frac{\sqrt{\left|{2 \sqrt[3]{6} + 8 + \frac{8}{\sqrt{4 - 2 \sqrt[3]{6}}}}\right|}}{2}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt[3]{6}}}{2} + \frac{\sqrt{\left|{2 \sqrt[3]{6} + 8 + \frac{8}{\sqrt{4 - 2 \sqrt[3]{6}}}}\right|}}{2}, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{\left(x + \frac{1}{x}\right) - 1} = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{\left(x + \frac{1}{x}\right) - 1} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{\left(x + \frac{1}{x}\right) - 1} = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{\left(x + \frac{1}{x}\right) - 1} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(x + 1/x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\left(x + \frac{1}{x}\right) - 1}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\left(x + \frac{1}{x}\right) - 1}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\left(x + \frac{1}{x}\right) - 1}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\left(x + \frac{1}{x}\right) - 1}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sqrt{\left(x + \frac{1}{x}\right) - 1} = \sqrt{- x - 1 - \frac{1}{x}}$$
- No
$$\sqrt{\left(x + \frac{1}{x}\right) - 1} = - \sqrt{- x - 1 - \frac{1}{x}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\sqrt{\left(x + \frac{1}{x}\right) - 1} = \sqrt{- x - 1 - \frac{1}{x}}$$
- No
$$\sqrt{\left(x + \frac{1}{x}\right) - 1} = - \sqrt{- x - 1 - \frac{1}{x}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar