Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{- \frac{\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)^{2}}{4 \left(x - 1 + \frac{1}{x}\right)} + \frac{1}{x^{3}}}{\sqrt{x - 1 + \frac{1}{x}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt[3]{6}}}{2} + \frac{\sqrt{2 \sqrt[3]{6} + 8 + \frac{8}{\sqrt{4 - 2 \sqrt[3]{6}}}}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{2 \sqrt[3]{6} + 8 + \frac{8}{\sqrt{4 - 2 \sqrt[3]{6}}}}}{2} - \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt[3]{6}}}{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \frac{\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)^{2}}{4 \left(x - 1 + \frac{1}{x}\right)} + \frac{1}{x^{3}}}{\sqrt{x - 1 + \frac{1}{x}}}\right) = \infty i$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \frac{\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)^{2}}{4 \left(x - 1 + \frac{1}{x}\right)} + \frac{1}{x^{3}}}{\sqrt{x - 1 + \frac{1}{x}}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt[3]{6}}}{2} + \frac{\sqrt{\left|{2 \sqrt[3]{6} + 8 + \frac{8}{\sqrt{4 - 2 \sqrt[3]{6}}}}\right|}}{2}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt[3]{6}}}{2} + \frac{\sqrt{\left|{2 \sqrt[3]{6} + 8 + \frac{8}{\sqrt{4 - 2 \sqrt[3]{6}}}}\right|}}{2}, \infty\right)$$