Sr Examen

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Gráfico de la función y = sqrt(x+1/x-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
           ___________
          /     1     
f(x) =   /  x + - - 1 
       \/       x     
$$f{\left(x \right)} = \sqrt{\left(x + \frac{1}{x}\right) - 1}$$
f = sqrt(x + 1/x - 1)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt{\left(x + \frac{1}{x}\right) - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(x + 1/x - 1).
$$\sqrt{-1 + \frac{1}{0}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}$$
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2 x^{2}}}{\sqrt{\left(x + \frac{1}{x}\right) - 1}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Signos de extremos en los puntos:
         ___ 
(-1, I*\/ 3 )

(1, 1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 1$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[1, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 1\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- \frac{\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)^{2}}{4 \left(x - 1 + \frac{1}{x}\right)} + \frac{1}{x^{3}}}{\sqrt{x - 1 + \frac{1}{x}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt[3]{6}}}{2} + \frac{\sqrt{2 \sqrt[3]{6} + 8 + \frac{8}{\sqrt{4 - 2 \sqrt[3]{6}}}}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{2 \sqrt[3]{6} + 8 + \frac{8}{\sqrt{4 - 2 \sqrt[3]{6}}}}}{2} - \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt[3]{6}}}{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$

$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \frac{\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)^{2}}{4 \left(x - 1 + \frac{1}{x}\right)} + \frac{1}{x^{3}}}{\sqrt{x - 1 + \frac{1}{x}}}\right) = \infty i$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \frac{\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)^{2}}{4 \left(x - 1 + \frac{1}{x}\right)} + \frac{1}{x^{3}}}{\sqrt{x - 1 + \frac{1}{x}}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt[3]{6}}}{2} + \frac{\sqrt{\left|{2 \sqrt[3]{6} + 8 + \frac{8}{\sqrt{4 - 2 \sqrt[3]{6}}}}\right|}}{2}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt[3]{6}}}{2} + \frac{\sqrt{\left|{2 \sqrt[3]{6} + 8 + \frac{8}{\sqrt{4 - 2 \sqrt[3]{6}}}}\right|}}{2}, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{\left(x + \frac{1}{x}\right) - 1} = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{\left(x + \frac{1}{x}\right) - 1} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(x + 1/x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\left(x + \frac{1}{x}\right) - 1}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\left(x + \frac{1}{x}\right) - 1}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sqrt{\left(x + \frac{1}{x}\right) - 1} = \sqrt{- x - 1 - \frac{1}{x}}$$
- No
$$\sqrt{\left(x + \frac{1}{x}\right) - 1} = - \sqrt{- x - 1 - \frac{1}{x}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar