Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sqrt(x+1/x-1)

Gráfico de la función y = sqrt(x+1/x-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           ___________
          /     1     
f(x) =   /  x + - - 1 
       \/       x
f(x)=(x+1x)−1f{\left(x \right)} = \sqrt{\left(x + \frac{1}{x}\right) - 1} 
f = sqrt(x + 1/x - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101005
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x+1x)−1=0\sqrt{\left(x + \frac{1}{x}\right) - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(x + 1/x - 1).
−1+10\sqrt{-1 + \frac{1}{0}}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
12−12x2(x+1x)−1=0\frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2 x^{2}}}{\sqrt{\left(x + \frac{1}{x}\right) - 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Signos de extremos en los puntos:
         ___ 
(-1, I*\/ 3 )

(1, 1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=1x_{1} = 1
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[1,∞)\left[1, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,1]\left(-\infty, 1\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(1−1x2)24(x−1+1x)+1x3x−1+1x=0\frac{- \frac{\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)^{2}}{4 \left(x - 1 + \frac{1}{x}\right)} + \frac{1}{x^{3}}}{\sqrt{x - 1 + \frac{1}{x}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−4−2632+263+8+84−2632x_{1} = - \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt[3]{6}}}{2} + \frac{\sqrt{2 \sqrt[3]{6} + 8 + \frac{8}{\sqrt{4 - 2 \sqrt[3]{6}}}}}{2}
x2=−263+8+84−2632−4−2632x_{2} = - \frac{\sqrt{2 \sqrt[3]{6} + 8 + \frac{8}{\sqrt{4 - 2 \sqrt[3]{6}}}}}{2} - \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt[3]{6}}}{2}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(−(1−1x2)24(x−1+1x)+1x3x−1+1x)=∞i\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \frac{\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)^{2}}{4 \left(x - 1 + \frac{1}{x}\right)} + \frac{1}{x^{3}}}{\sqrt{x - 1 + \frac{1}{x}}}\right) = \infty i
lim⁡x→0+(−(1−1x2)24(x−1+1x)+1x3x−1+1x)=∞\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \frac{\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)^{2}}{4 \left(x - 1 + \frac{1}{x}\right)} + \frac{1}{x^{3}}}{\sqrt{x - 1 + \frac{1}{x}}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−4−2632+∣263+8+84−263∣2]\left(-\infty, - \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt[3]{6}}}{2} + \frac{\sqrt{\left|{2 \sqrt[3]{6} + 8 + \frac{8}{\sqrt{4 - 2 \sqrt[3]{6}}}}\right|}}{2}\right]
Convexa en los intervalos
[−4−2632+∣263+8+84−263∣2,∞)\left[- \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt[3]{6}}}{2} + \frac{\sqrt{\left|{2 \sqrt[3]{6} + 8 + \frac{8}{\sqrt{4 - 2 \sqrt[3]{6}}}}\right|}}{2}, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x+1x)−1=∞i\lim_{x \to -\infty} \sqrt{\left(x + \frac{1}{x}\right) - 1} = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x+1x)−1=∞\lim_{x \to \infty} \sqrt{\left(x + \frac{1}{x}\right) - 1} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(x + 1/x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x+1x)−1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\left(x + \frac{1}{x}\right) - 1}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((x+1x)−1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\left(x + \frac{1}{x}\right) - 1}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x+1x)−1=−x−1−1x\sqrt{\left(x + \frac{1}{x}\right) - 1} = \sqrt{- x - 1 - \frac{1}{x}}
- No
(x+1x)−1=−−x−1−1x\sqrt{\left(x + \frac{1}{x}\right) - 1} = - \sqrt{- x - 1 - \frac{1}{x}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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