Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ arctg(3x/(2x^2-0,25))

Gráfico de la función y = arctg(3x/(2x^2-0,25))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           /  3*x   \
f(x) = atan|--------|
           |   2   1|
           |2*x  - -|
           \       4/
f(x)=atan⁡(3x2x2−14)f{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{3 x}{2 x^{2} - \frac{1}{4}} \right)} 
f = atan((3*x)/(2*x^2 - 1/4))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−0.353553390593274x_{1} = -0.353553390593274
x2=0.353553390593274x_{2} = 0.353553390593274
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
atan⁡(3x2x2−14)=0\operatorname{atan}{\left(\frac{3 x}{2 x^{2} - \frac{1}{4}} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en atan((3*x)/(2*x^2 - 1/4)).
atan⁡(0⋅3−14+2⋅02)\operatorname{atan}{\left(\frac{0 \cdot 3}{- \frac{1}{4} + 2 \cdot 0^{2}} \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−12x2(2x2−14)2+32x2−149x2(2x2−14)2+1=0\frac{- \frac{12 x^{2}}{\left(2 x^{2} - \frac{1}{4}\right)^{2}} + \frac{3}{2 x^{2} - \frac{1}{4}}}{\frac{9 x^{2}}{\left(2 x^{2} - \frac{1}{4}\right)^{2}} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
192x(32x28x2−1−3−18(16x28x2−1−1)2(8x2−1)(144x2(8x2−1)2+1))(8x2−1)2(144x2(8x2−1)2+1)=0\frac{192 x \left(\frac{32 x^{2}}{8 x^{2} - 1} - 3 - \frac{18 \left(\frac{16 x^{2}}{8 x^{2} - 1} - 1\right)^{2}}{\left(8 x^{2} - 1\right) \left(\frac{144 x^{2}}{\left(8 x^{2} - 1\right)^{2}} + 1\right)}\right)}{\left(8 x^{2} - 1\right)^{2} \left(\frac{144 x^{2}}{\left(8 x^{2} - 1\right)^{2}} + 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−0.353553390593274x_{1} = -0.353553390593274
x2=0.353553390593274x_{2} = 0.353553390593274

lim⁡x→−0.353553390593274−(192x(32x28x2−1−3−18(16x28x2−1−1)2(8x2−1)(144x2(8x2−1)2+1))(8x2−1)2(144x2(8x2−1)2+1))=−15.084944665313\lim_{x \to -0.353553390593274^-}\left(\frac{192 x \left(\frac{32 x^{2}}{8 x^{2} - 1} - 3 - \frac{18 \left(\frac{16 x^{2}}{8 x^{2} - 1} - 1\right)^{2}}{\left(8 x^{2} - 1\right) \left(\frac{144 x^{2}}{\left(8 x^{2} - 1\right)^{2}} + 1\right)}\right)}{\left(8 x^{2} - 1\right)^{2} \left(\frac{144 x^{2}}{\left(8 x^{2} - 1\right)^{2}} + 1\right)}\right) = -15.084944665313
lim⁡x→−0.353553390593274+(192x(32x28x2−1−3−18(16x28x2−1−1)2(8x2−1)(144x2(8x2−1)2+1))(8x2−1)2(144x2(8x2−1)2+1))=−15.084944665313\lim_{x \to -0.353553390593274^+}\left(\frac{192 x \left(\frac{32 x^{2}}{8 x^{2} - 1} - 3 - \frac{18 \left(\frac{16 x^{2}}{8 x^{2} - 1} - 1\right)^{2}}{\left(8 x^{2} - 1\right) \left(\frac{144 x^{2}}{\left(8 x^{2} - 1\right)^{2}} + 1\right)}\right)}{\left(8 x^{2} - 1\right)^{2} \left(\frac{144 x^{2}}{\left(8 x^{2} - 1\right)^{2}} + 1\right)}\right) = -15.084944665313
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
lim⁡x→0.353553390593274−(192x(32x28x2−1−3−18(16x28x2−1−1)2(8x2−1)(144x2(8x2−1)2+1))(8x2−1)2(144x2(8x2−1)2+1))=15.084944665313\lim_{x \to 0.353553390593274^-}\left(\frac{192 x \left(\frac{32 x^{2}}{8 x^{2} - 1} - 3 - \frac{18 \left(\frac{16 x^{2}}{8 x^{2} - 1} - 1\right)^{2}}{\left(8 x^{2} - 1\right) \left(\frac{144 x^{2}}{\left(8 x^{2} - 1\right)^{2}} + 1\right)}\right)}{\left(8 x^{2} - 1\right)^{2} \left(\frac{144 x^{2}}{\left(8 x^{2} - 1\right)^{2}} + 1\right)}\right) = 15.084944665313
lim⁡x→0.353553390593274+(192x(32x28x2−1−3−18(16x28x2−1−1)2(8x2−1)(144x2(8x2−1)2+1))(8x2−1)2(144x2(8x2−1)2+1))=15.084944665313\lim_{x \to 0.353553390593274^+}\left(\frac{192 x \left(\frac{32 x^{2}}{8 x^{2} - 1} - 3 - \frac{18 \left(\frac{16 x^{2}}{8 x^{2} - 1} - 1\right)^{2}}{\left(8 x^{2} - 1\right) \left(\frac{144 x^{2}}{\left(8 x^{2} - 1\right)^{2}} + 1\right)}\right)}{\left(8 x^{2} - 1\right)^{2} \left(\frac{144 x^{2}}{\left(8 x^{2} - 1\right)^{2}} + 1\right)}\right) = 15.084944665313
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−0.353553390593274x_{1} = -0.353553390593274
x2=0.353553390593274x_{2} = 0.353553390593274
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞atan⁡(3x2x2−14)=0\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{3 x}{2 x^{2} - \frac{1}{4}} \right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞atan⁡(3x2x2−14)=0\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{3 x}{2 x^{2} - \frac{1}{4}} \right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan((3*x)/(2*x^2 - 1/4)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(atan⁡(3x2x2−14)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{3 x}{2 x^{2} - \frac{1}{4}} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(atan⁡(3x2x2−14)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{3 x}{2 x^{2} - \frac{1}{4}} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
atan⁡(3x2x2−14)=−atan⁡(3x2x2−14)\operatorname{atan}{\left(\frac{3 x}{2 x^{2} - \frac{1}{4}} \right)} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{3 x}{2 x^{2} - \frac{1}{4}} \right)}
- No
atan⁡(3x2x2−14)=atan⁡(3x2x2−14)\operatorname{atan}{\left(\frac{3 x}{2 x^{2} - \frac{1}{4}} \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{3 x}{2 x^{2} - \frac{1}{4}} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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