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Trazado el gráfico de la función/ arctg(t)

Gráfico de la función y = arctg(t)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(t) = atan(t)
f(t)=atan⁡(t)f{\left(t \right)} = \operatorname{atan}{\left(t \right)} 
f = atan(t)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje T con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
atan⁡(t)=0\operatorname{atan}{\left(t \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje T:

Solución analítica
t1=0t_{1} = 0
Solución numérica
t1=0t_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando t es igual a 0:
sustituimos t = 0 en atan(t).
atan⁡(0)\operatorname{atan}{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddtf(t)=0\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddtf(t)=\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} =
primera derivada
1t2+1=0\frac{1}{t^{2} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dt2f(t)=0\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dt2f(t)=\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} =
segunda derivada
−2t(t2+1)2=0- \frac{2 t}{\left(t^{2} + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
t1=0t_{1} = 0

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Convexa en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con t->+oo y t->-oo
lim⁡t→−∞atan⁡(t)=−π2\lim_{t \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(t \right)} = - \frac{\pi}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−π2y = - \frac{\pi}{2}
lim⁡t→∞atan⁡(t)=π2\lim_{t \to \infty} \operatorname{atan}{\left(t \right)} = \frac{\pi}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=π2y = \frac{\pi}{2}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan(t), dividida por t con t->+oo y t ->-oo
lim⁡t→−∞(atan⁡(t)t)=0\lim_{t \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(t \right)}}{t}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡t→∞(atan⁡(t)t)=0\lim_{t \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(t \right)}}{t}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-t) и f = -f(-t).
Pues, comprobamos:
atan⁡(t)=−atan⁡(t)\operatorname{atan}{\left(t \right)} = - \operatorname{atan}{\left(t \right)}
- No
atan⁡(t)=atan⁡(t)\operatorname{atan}{\left(t \right)} = \operatorname{atan}{\left(t \right)}
- Sí
es decir, función
es
impar
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