Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ arctg(tg(x/sqrt(2)))/sqrt(2)

Gráfico de la función y = arctg(tg(x/sqrt(2)))/sqrt(2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           /   /  x  \\
       atan|tan|-----||
           |   |  ___||
           \   \\/ 2 //
f(x) = ----------------
              ___      
            \/ 2
f(x)=atan⁡(tan⁡(x2))2f{\left(x \right)} = \frac{\operatorname{atan}{\left(\tan{\left(\frac{x}{\sqrt{2}} \right)} \right)}}{\sqrt{2}} 
f = atan(tan(x/sqrt(2)))/sqrt(2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102.5-2.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
atan⁡(tan⁡(x2))2=0\frac{\operatorname{atan}{\left(\tan{\left(\frac{x}{\sqrt{2}} \right)} \right)}}{\sqrt{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=−35.5430635052669x_{1} = -35.5430635052669
x2=84.414775825009x_{2} = 84.414775825009
x3=0x_{3} = 0
x4=48.871712319742x_{4} = 48.871712319742
x5=−93.3005417013257x_{5} = -93.3005417013257
x6=39.9859464434253x_{6} = 39.9859464434253
x7=26.6572976289502x_{7} = 26.6572976289502
x8=−39.9859464434253x_{8} = -39.9859464434253
x9=8.88576587631673x_{9} = 8.88576587631673
x10=−31.1001805671086x_{10} = -31.1001805671086
x11=−88.8576587631673x_{11} = -88.8576587631673
x12=22.2144146907918x_{12} = 22.2144146907918
x13=−22.2144146907918x_{13} = -22.2144146907918
x14=−13.3286488144751x_{14} = -13.3286488144751
x15=−8.88576587631673x_{15} = -8.88576587631673
x16=62.2003611342171x_{16} = 62.2003611342171
x17=−26.6572976289502x_{17} = -26.6572976289502
x18=13.3286488144751x_{18} = 13.3286488144751
x19=−53.3145952579004x_{19} = -53.3145952579004
x20=97.7434246394841x_{20} = 97.7434246394841
x21=−48.871712319742x_{21} = -48.871712319742
x22=88.8576587631673x_{22} = 88.8576587631673
x23=−4.44288293815837x_{23} = -4.44288293815837
x24=−75.5290099486922x_{24} = -75.5290099486922
x25=93.3005417013257x_{25} = 93.3005417013257
x26=44.4288293815837x_{26} = 44.4288293815837
x27=−79.9718928868506x_{27} = -79.9718928868506
x28=57.7574781960588x_{28} = 57.7574781960588
x29=−66.6432440723755x_{29} = -66.6432440723755
x30=−84.414775825009x_{30} = -84.414775825009
x31=35.5430635052669x_{31} = 35.5430635052669
x32=31.1001805671086x_{32} = 31.1001805671086
x33=−71.0861270105339x_{33} = -71.0861270105339
x34=−97.7434246394841x_{34} = -97.7434246394841
x35=102.186307577642x_{35} = 102.186307577642
x36=71.0861270105339x_{36} = 71.0861270105339
x37=75.5290099486922x_{37} = 75.5290099486922
x38=4.44288293815837x_{38} = 4.44288293815837
x39=17.7715317526335x_{39} = 17.7715317526335
x40=53.3145952579004x_{40} = 53.3145952579004
x41=66.6432440723755x_{41} = 66.6432440723755
x42=−57.7574781960588x_{42} = -57.7574781960588
x43=−62.2003611342171x_{43} = -62.2003611342171
x44=79.9718928868506x_{44} = 79.9718928868506
x45=−44.4288293815837x_{45} = -44.4288293815837
x46=−17.7715317526335x_{46} = -17.7715317526335
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en atan(tan(x/sqrt(2)))/sqrt(2).
atan⁡(tan⁡(02))2\frac{\operatorname{atan}{\left(\tan{\left(\frac{0}{\sqrt{2}} \right)} \right)}}{\sqrt{2}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2222=0\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{2}}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
0=00 = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞(atan⁡(tan⁡(x2))2)y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\tan{\left(\frac{x}{\sqrt{2}} \right)} \right)}}{\sqrt{2}}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞(atan⁡(tan⁡(x2))2)y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\tan{\left(\frac{x}{\sqrt{2}} \right)} \right)}}{\sqrt{2}}\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan(tan(x/sqrt(2)))/sqrt(2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(22atan⁡(tan⁡(x2))x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \operatorname{atan}{\left(\tan{\left(\frac{x}{\sqrt{2}} \right)} \right)}}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(22atan⁡(tan⁡(x2))x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \operatorname{atan}{\left(\tan{\left(\frac{x}{\sqrt{2}} \right)} \right)}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
atan⁡(tan⁡(x2))2=−22atan⁡(tan⁡(22x))\frac{\operatorname{atan}{\left(\tan{\left(\frac{x}{\sqrt{2}} \right)} \right)}}{\sqrt{2}} = - \frac{\sqrt{2}}{2} \operatorname{atan}{\left(\tan{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} x \right)} \right)}
- No
atan⁡(tan⁡(x2))2=22atan⁡(tan⁡(22x))\frac{\operatorname{atan}{\left(\tan{\left(\frac{x}{\sqrt{2}} \right)} \right)}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \operatorname{atan}{\left(\tan{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} x \right)} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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