Sr Examen

Gráfico de la función y = arctg(1\x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
           /1\
f(x) = atan|-|
           \x/
f(x)=atan(1x)f{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)}
f = atan(1/x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
atan(1x)=0\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en atan(1/x).
atan(10)\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{0} \right)}
Resultado:
f(0)=π2,π2f{\left(0 \right)} = \left\langle - \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right\rangle
Punto:
(0, AccumBounds(-pi/2, pi/2))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
1x2(1+1x2)=0- \frac{1}{x^{2} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(11x2(1+1x2))x3(1+1x2)=0\frac{2 \left(1 - \frac{1}{x^{2} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)}\right)}{x^{3} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
limxatan(1x)=0\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
limxatan(1x)=0\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan(1/x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
limx(atan(1x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
limx(atan(1x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
atan(1x)=atan(1x)\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)}
- No
atan(1x)=atan(1x)\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{x} \right)}
- Sí
es decir, función
es
impar