Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 4*sin(5*x)^3

Gráfico de la función y = 4*sin(5*x)^3

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            3     
f(x) = 4*sin (5*x)
f(x)=4sin⁡3(5x)f{\left(x \right)} = 4 \sin^{3}{\left(5 x \right)} 
f = 4*sin(5*x)^3
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
4sin⁡3(5x)=04 \sin^{3}{\left(5 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=π5x_{2} = \frac{\pi}{5}
Solución numérica
x1=−43.9823031577186x_{1} = -43.9823031577186
x2=21.9911516322427x_{2} = 21.9911516322427
x3=6.28317687213508x_{3} = 6.28317687213508
x4=−1.88496093911439x_{4} = -1.88496093911439
x5=0x_{5} = 0
x6=43.9823031772716x_{6} = 43.9823031772716
x7=74.1415950490631x_{7} = 74.1415950490631
x8=96.132739407901x_{8} = 96.132739407901
x9=−69.7433586481537x_{9} = -69.7433586481537
x10=48.3805137463582x_{10} = 48.3805137463582
x11=28.2743276110676x_{11} = 28.2743276110676
x12=54.035382503596x_{12} = 54.035382503596
x13=−93.6194741889191x_{13} = -93.6194741889191
x14=−91.7345095170872x_{14} = -91.7345095170872
x15=65.9734545620738x_{15} = 65.9734545620738
x16=−96.132723464583x_{16} = -96.132723464583
x17=98.0176847884392x_{17} = 98.0176847884392
x18=40.2123953230364x_{18} = 40.2123953230364
x19=52.1504496308635x_{19} = 52.1504496308635
x20=−99.9026586531636x_{20} = -99.9026586531636
x21=84.1946958447672x_{21} = 84.1946958447672
x22=72.2566292972523x_{22} = 72.2566292972523
x23=−39.5840782677381x_{23} = -39.5840782677381
x24=−89.8495383079016x_{24} = -89.8495383079016
x25=−30.1592988122439x_{25} = -30.1592988122439
x26=62.2035457264783x_{26} = 62.2035457264783
x27=30.1593030386965x_{27} = 30.1593030386965
x28=26.3893724569146x_{28} = 26.3893724569146
x29=−25.7610568725516x_{29} = -25.7610568725516
x30=76.0265334791505x_{30} = 76.0265334791505
x31=−37.6991242681696x_{31} = -37.6991242681696
x32=13.1946807694429x_{32} = 13.1946807694429
x33=18.2212447146651x_{33} = 18.2212447146651
x34=−67.858392888113x_{34} = -67.858392888113
x35=−15.7079737629519x_{35} = -15.7079737629519
x36=4.39823701644331x_{36} = 4.39823701644331
x37=−21.9911516309942x_{37} = -21.9911516309942
x38=−3.76990603457228x_{38} = -3.76990603457228
x39=−57.8052920993563x_{39} = -57.8052920993563
x40=32.0442319686978x_{40} = 32.0442319686978
x41=89.8495385744551x_{41} = 89.8495385744551
x42=−65.973454466631x_{42} = -65.973454466631
x43=−54.0353822177094x_{43} = -54.0353822177094
x44=−98.0176847689387x_{44} = -98.0176847689387
x45=42.0973292858246x_{45} = 42.0973292858246
x46=−52.1504493462834x_{46} = -52.1504493462834
x47=94.2477801894259x_{47} = 94.2477801894259
x48=−79.7964422180974x_{48} = -79.7964422180974
x49=87.9646057279071x_{49} = 87.9646057279071
x50=67.8584044664188x_{50} = 67.8584044664188
x51=20.1061836459268x_{51} = 20.1061836459268
x52=45.867264469363x_{52} = 45.867264469363
x53=−45.8672485280578x_{53} = -45.8672485280578
x54=50.2654784282671x_{54} = 50.2654784282671
x55=−74.1415834601493x_{55} = -74.1415834601493
x56=−47.7522077559909x_{56} = -47.7522077559909
x57=−23.8761047798227x_{57} = -23.8761047798227
x58=−87.9646054416544x_{58} = -87.9646054416544
x59=−76.0265333838752x_{59} = -76.0265333838752
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 4*sin(5*x)^3.
4sin⁡3(0⋅5)4 \sin^{3}{\left(0 \cdot 5 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
60sin⁡2(5x)cos⁡(5x)=060 \sin^{2}{\left(5 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−π10x_{2} = - \frac{\pi}{10}
x3=π10x_{3} = \frac{\pi}{10}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)

 -pi      
(----, -4)
  10      

 pi    
(--, 4)
 10


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−π10x_{1} = - \frac{\pi}{10}
Puntos máximos de la función:
x1=π10x_{1} = \frac{\pi}{10}
Decrece en los intervalos
[−π10,π10]\left[- \frac{\pi}{10}, \frac{\pi}{10}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−π10]∪[π10,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{10}\right] \cup \left[\frac{\pi}{10}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−300(sin⁡2(5x)−2cos⁡2(5x))sin⁡(5x)=0- 300 \left(\sin^{2}{\left(5 x \right)} - 2 \cos^{2}{\left(5 x \right)}\right) \sin{\left(5 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−2atan⁡(2−3)5x_{2} = - \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 - \sqrt{3}} \right)}}{5}
x3=2atan⁡(2−3)5x_{3} = \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{2 - \sqrt{3}} \right)}}{5}
x4=−2atan⁡(3+2)5x_{4} = - \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}}{5}
x5=2atan⁡(3+2)5x_{5} = \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}}{5}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[2atan⁡(3+2)5,∞)\left[\frac{2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}}{5}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−2atan⁡(3+2)5]\left(-\infty, - \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}}{5}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(4sin⁡3(5x))=⟨−4,4⟩\lim_{x \to -\infty}\left(4 \sin^{3}{\left(5 x \right)}\right) = \left\langle -4, 4\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−4,4⟩y = \left\langle -4, 4\right\rangle
lim⁡x→∞(4sin⁡3(5x))=⟨−4,4⟩\lim_{x \to \infty}\left(4 \sin^{3}{\left(5 x \right)}\right) = \left\langle -4, 4\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−4,4⟩y = \left\langle -4, 4\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 4*sin(5*x)^3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(4sin⁡3(5x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 \sin^{3}{\left(5 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(4sin⁡3(5x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 \sin^{3}{\left(5 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
4sin⁡3(5x)=−4sin⁡3(5x)4 \sin^{3}{\left(5 x \right)} = - 4 \sin^{3}{\left(5 x \right)}
- No
4sin⁡3(5x)=4sin⁡3(5x)4 \sin^{3}{\left(5 x \right)} = 4 \sin^{3}{\left(5 x \right)}
- Sí
es decir, función
es
impar
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