Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ tg(sqrt(x))-3x^2-5*sqrt(x)

Gráfico de la función y = tg(sqrt(x))-3x^2-5*sqrt(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /  ___\      2       ___
f(x) = tan\\/ x / - 3*x  - 5*\/ x
$$f{\left(x \right)} = - 5 \sqrt{x} + \left(- 3 x^{2} + \tan{\left(\sqrt{x} \right)}\right)$$ 
f = -5*sqrt(x) - 3*x^2 + tan(sqrt(x))
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- 5 \sqrt{x} + \left(- 3 x^{2} + \tan{\left(\sqrt{x} \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2.33859297514274$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en tan(sqrt(x)) - 3*x^2 - 5*sqrt(x).
$$\left(\tan{\left(\sqrt{0} \right)} - 3 \cdot 0^{2}\right) - 5 \sqrt{0}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 6 x + \frac{\tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1}{2 \sqrt{x}} - \frac{5}{2 \sqrt{x}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1.9855065925321$$
$$x_{2} = 21.9395381244962$$
$$x_{3} = 61.4787523952363$$
Signos de extremos en los puntos:
(1.9855065925321, -12.7424396702673)

(21.93953812449623, -1432.27642175755)

(61.47875239523635, -11302.0327279599)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 1.9855065925321$$
$$x_{2} = 21.9395381244962$$
$$x_{3} = 61.4787523952363$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[61.4787523952363, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 1.9855065925321\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
False

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
False

True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \lim_{x \to \infty}\left(- 5 \sqrt{x} + \left(- 3 x^{2} + \tan{\left(\sqrt{x} \right)}\right)\right)$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función tan(sqrt(x)) - 3*x^2 - 5*sqrt(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 5 \sqrt{x} + \left(- 3 x^{2} + \tan{\left(\sqrt{x} \right)}\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 5 \sqrt{x} + \left(- 3 x^{2} + \tan{\left(\sqrt{x} \right)}\right)}{x}\right)$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$- 5 \sqrt{x} + \left(- 3 x^{2} + \tan{\left(\sqrt{x} \right)}\right) = - 3 x^{2} - 5 \sqrt{- x} + \tan{\left(\sqrt{- x} \right)}$$
- No
$$- 5 \sqrt{x} + \left(- 3 x^{2} + \tan{\left(\sqrt{x} \right)}\right) = 3 x^{2} + 5 \sqrt{- x} - \tan{\left(\sqrt{- x} \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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