Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (sqrt(2*x+1)-3)/(sqrt(x)-2)

Gráfico de la función y = (sqrt(2*x+1)-3)/(sqrt(x)-2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         _________    
       \/ 2*x + 1  - 3
f(x) = ---------------
            ___       
          \/ x  - 2
$$f{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{2 x + 1} - 3}{\sqrt{x} - 2}$$ 
f = (sqrt(2*x + 1) - 3)/(sqrt(x) - 2)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 4$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\sqrt{2 x + 1} - 3}{\sqrt{x} - 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (sqrt(2*x + 1) - 3)/(sqrt(x) - 2).
$$\frac{-3 + \sqrt{0 \cdot 2 + 1}}{-2 + \sqrt{0}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{1}{\left(\sqrt{x} - 2\right) \sqrt{2 x + 1}} - \frac{\sqrt{2 x + 1} - 3}{2 \sqrt{x} \left(\sqrt{x} - 2\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- \frac{1}{\left(2 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{\left(\frac{2}{x \left(\sqrt{x} - 2\right)} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\right) \left(\sqrt{2 x + 1} - 3\right)}{4 \left(\sqrt{x} - 2\right)} - \frac{1}{\sqrt{x} \left(\sqrt{x} - 2\right) \sqrt{2 x + 1}}}{\sqrt{x} - 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 4$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{2 x + 1} - 3}{\sqrt{x} - 2}\right) = \sqrt{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \sqrt{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{2 x + 1} - 3}{\sqrt{x} - 2}\right) = \sqrt{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \sqrt{2}$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (sqrt(2*x + 1) - 3)/(sqrt(x) - 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{2 x + 1} - 3}{x \left(\sqrt{x} - 2\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{2 x + 1} - 3}{x \left(\sqrt{x} - 2\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\sqrt{2 x + 1} - 3}{\sqrt{x} - 2} = \frac{\sqrt{1 - 2 x} - 3}{\sqrt{- x} - 2}$$
- No
$$\frac{\sqrt{2 x + 1} - 3}{\sqrt{x} - 2} = - \frac{\sqrt{1 - 2 x} - 3}{\sqrt{- x} - 2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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