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x*log(2*x)
Trazado el gráfico de la función/ x*log(2*x)

Gráfico de la función y = x*log(2*x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = x*log(2*x)
f(x)=xlog⁡(2x)f{\left(x \right)} = x \log{\left(2 x \right)} 
f = x*log(2*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
xlog⁡(2x)=0x \log{\left(2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=12x_{1} = \frac{1}{2}
Solución numérica
x1=0.5x_{1} = 0.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x*log(2*x).
0log⁡(0⋅2)0 \log{\left(0 \cdot 2 \right)}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
log⁡(2x)+1=0\log{\left(2 x \right)} + 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=12ex_{1} = \frac{1}{2 e}
Signos de extremos en los puntos:
  -1    -1  
 e    -e    
(---, -----)
  2     2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=12ex_{1} = \frac{1}{2 e}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[12e,∞)\left[\frac{1}{2 e}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,12e]\left(-\infty, \frac{1}{2 e}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
1x=0\frac{1}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(xlog⁡(2x))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(x \log{\left(2 x \right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(xlog⁡(2x))=∞\lim_{x \to \infty}\left(x \log{\left(2 x \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x*log(2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞log⁡(2x)=∞\lim_{x \to -\infty} \log{\left(2 x \right)} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞log⁡(2x)=∞\lim_{x \to \infty} \log{\left(2 x \right)} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
xlog⁡(2x)=−xlog⁡(−2x)x \log{\left(2 x \right)} = - x \log{\left(- 2 x \right)}
- No
xlog⁡(2x)=xlog⁡(−2x)x \log{\left(2 x \right)} = x \log{\left(- 2 x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = x*log(2*x)
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