Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sin(x)*cos2x

Gráfico de la función y = sin(x)*cos2x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = sin(x)*cos(2*x)
f(x)=sin⁡(x)cos⁡(2x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} 
f = sin(x)*cos(2*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡(x)cos⁡(2x)=0\sin{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=−π4x_{2} = - \frac{\pi}{4}
x3=π4x_{3} = \frac{\pi}{4}
Solución numérica
x1=78.5398163397448x_{1} = 78.5398163397448
x2=−65.9734457253857x_{2} = -65.9734457253857
x3=−40.0553063332699x_{3} = -40.0553063332699
x4=−15.707963267949x_{4} = -15.707963267949
x5=−280.387144332889x_{5} = -280.387144332889
x6=−43.1968989868597x_{6} = -43.1968989868597
x7=50.2654824574367x_{7} = 50.2654824574367
x8=30.6305283725005x_{8} = 30.6305283725005
x9=172.002197784041x_{9} = 172.002197784041
x10=84.037603483527x_{10} = 84.037603483527
x11=101.316363078271x_{11} = 101.316363078271
x12=85.6083998103219x_{12} = 85.6083998103219
x13=54.1924732744239x_{13} = 54.1924732744239
x14=−68.329640215578x_{14} = -68.329640215578
x15=19.6349540849362x_{15} = 19.6349540849362
x16=68.329640215578x_{16} = 68.329640215578
x17=−54.1924732744239x_{17} = -54.1924732744239
x18=−47.9092879672443x_{18} = -47.9092879672443
x19=−18.0641577581413x_{19} = -18.0641577581413
x20=90.3207887907066x_{20} = 90.3207887907066
x21=−30.6305283725005x_{21} = -30.6305283725005
x22=8.63937979737193x_{22} = 8.63937979737193
x23=−59.6902604182061x_{23} = -59.6902604182061
x24=21.9911485751286x_{24} = 21.9911485751286
x25=−84.037603483527x_{25} = -84.037603483527
x26=69.1150383789755x_{26} = 69.1150383789755
x27=6.28318530717959x_{27} = 6.28318530717959
x28=−69.9004365423729x_{28} = -69.9004365423729
x29=−87.9645943005142x_{29} = -87.9645943005142
x30=−19.6349540849362x_{30} = -19.6349540849362
x31=−3.92699081698724x_{31} = -3.92699081698724
x32=41.6261026600648x_{32} = 41.6261026600648
x33=−55.7632696012188x_{33} = -55.7632696012188
x34=−76.1836218495525x_{34} = -76.1836218495525
x35=62.0464549083984x_{35} = 62.0464549083984
x36=−32.2013246992954x_{36} = -32.2013246992954
x37=28.2743338823081x_{37} = 28.2743338823081
x38=94.2477796076938x_{38} = 94.2477796076938
x39=−46.3384916404494x_{39} = -46.3384916404494
x40=25.9181393921158x_{40} = 25.9181393921158
x41=−72.2566310325652x_{41} = -72.2566310325652
x42=−77.7544181763474x_{42} = -77.7544181763474
x43=47.9092879672443x_{43} = 47.9092879672443
x44=91.8915851175014x_{44} = 91.8915851175014
x45=24.3473430653209x_{45} = 24.3473430653209
x46=40.0553063332699x_{46} = 40.0553063332699
x47=−13.3517687777566x_{47} = -13.3517687777566
x48=98.174770424681x_{48} = 98.174770424681
x49=10.2101761241668x_{49} = 10.2101761241668
x50=−37.6991118430775x_{50} = -37.6991118430775
x51=−90.3207887907066x_{51} = -90.3207887907066
x52=−79.3252145031423x_{52} = -79.3252145031423
x53=−12.5663706143592x_{53} = -12.5663706143592
x54=60.4756585816035x_{54} = 60.4756585816035
x55=−51.0508806208341x_{55} = -51.0508806208341
x56=74.6128255227576x_{56} = 74.6128255227576
x57=−81.6814089933346x_{57} = -81.6814089933346
x58=43.9822971502571x_{58} = 43.9822971502571
x59=−99.7455667514759x_{59} = -99.7455667514759
x60=−24.3473430653209x_{60} = -24.3473430653209
x61=−62.0464549083984x_{61} = -62.0464549083984
x62=76.1836218495525x_{62} = 76.1836218495525
x63=3.92699081698724x_{63} = 3.92699081698724
x64=−33.7721210260903x_{64} = -33.7721210260903
x65=18.0641577581413x_{65} = 18.0641577581413
x66=−41.6261026600648x_{66} = -41.6261026600648
x67=0x_{67} = 0
x68=−21.9911485751286x_{68} = -21.9911485751286
x69=−35.3429173528852x_{69} = -35.3429173528852
x70=−85.6083998103219x_{70} = -85.6083998103219
x71=100.530964914873x_{71} = 100.530964914873
x72=52.621676947629x_{72} = 52.621676947629
x73=69.9004365423729x_{73} = 69.9004365423729
x74=65.9734457253857x_{74} = 65.9734457253857
x75=96.6039740978861x_{75} = 96.6039740978861
x76=−63.6172512351933x_{76} = -63.6172512351933
x77=−11.7809724509617x_{77} = -11.7809724509617
x78=46.3384916404494x_{78} = 46.3384916404494
x79=−91.8915851175014x_{79} = -91.8915851175014
x80=32.2013246992954x_{80} = 32.2013246992954
x81=−98.174770424681x_{81} = -98.174770424681
x82=−2.35619449019234x_{82} = -2.35619449019234
x83=−43.9822971502571x_{83} = -43.9822971502571
x84=63.6172512351933x_{84} = 63.6172512351933
x85=−57.3340659280137x_{85} = -57.3340659280137
x86=−25.9181393921158x_{86} = -25.9181393921158
x87=72.2566310325652x_{87} = 72.2566310325652
x88=2.35619449019234x_{88} = 2.35619449019234
x89=87.9645943005142x_{89} = 87.9645943005142
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(x)*cos(2*x).
sin⁡(0)cos⁡(0⋅2)\sin{\left(0 \right)} \cos{\left(0 \cdot 2 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(5sin⁡(x)cos⁡(2x)+4sin⁡(2x)cos⁡(x))=0- (5 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} + 4 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
x3=i(log⁡(9)−log⁡(−4−65i))2x_{3} = \frac{i \left(\log{\left(9 \right)} - \log{\left(-4 - \sqrt{65} i \right)}\right)}{2}
x4=i(log⁡(9)−log⁡(−4+65i))2x_{4} = \frac{i \left(\log{\left(9 \right)} - \log{\left(-4 + \sqrt{65} i \right)}\right)}{2}
x5=−ilog⁡(−−4−65i3)x_{5} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{-4 - \sqrt{65} i}}{3} \right)}
x6=−ilog⁡(−−4+65i3)x_{6} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{-4 + \sqrt{65} i}}{3} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π,∞)\left[\pi, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−π2+atan⁡(654)2]\left(-\infty, - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{65}}{4} \right)}}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x)cos⁡(2x))=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞(sin⁡(x)cos⁡(2x))=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(x)*cos(2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(sin⁡(x)cos⁡(2x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(sin⁡(x)cos⁡(2x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡(x)cos⁡(2x)=−sin⁡(x)cos⁡(2x)\sin{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}
- No
sin⁡(x)cos⁡(2x)=sin⁡(x)cos⁡(2x)\sin{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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