Sr Examen

Otras calculadoras

Gráfico de la función y = -5*sin(2*t)/52-t/10-cos(2*t)/52

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
       -5*sin(2*t)   t    cos(2*t)
f(t) = ----------- - -- - --------
            52       10      52   
$$f{\left(t \right)} = \left(- \frac{t}{10} + \frac{\left(-1\right) 5 \sin{\left(2 t \right)}}{52}\right) - \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{52}$$
f = -t/10 + (-5*sin(2*t))/52 - cos(2*t)/52
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje T con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(- \frac{t}{10} + \frac{\left(-1\right) 5 \sin{\left(2 t \right)}}{52}\right) - \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{52} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje T:

Solución numérica
$$t_{1} = -0.0653506429927281$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando t es igual a 0:
sustituimos t = 0 en (-5*sin(2*t))/52 - t/10 - cos(2*t)/52.
$$- \frac{\cos{\left(0 \cdot 2 \right)}}{52} + \left(\frac{\left(-1\right) 5 \sin{\left(0 \cdot 2 \right)}}{52} - \frac{0}{10}\right)$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = - \frac{1}{52}$$
Punto:
(0, -1/52)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{26} - \frac{5 \cos{\left(2 t \right)}}{26} - \frac{1}{10} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$t_{1} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{5}{12} - \frac{\sqrt{481}}{12} \right)}$$
$$t_{2} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{5}{12} + \frac{\sqrt{481}}{12} \right)}$$
Signos de extremos en los puntos:
                           /      /       _____\\       /       _____\        /      /       _____\\ 
                           |      |5    \/ 481 ||       |5    \/ 481 |        |      |5    \/ 481 || 
      /       _____\    cos|2*atan|-- - -------||   atan|-- - -------|   5*sin|2*atan|-- - -------|| 
      |5    \/ 481 |       \      \12      12  //       \12      12  /        \      \12      12  // 
(-atan|-- - -------|, - ------------------------- + ------------------ + ---------------------------)
      \12      12  /                52                      10                        52             

                           /      /       _____\\       /       _____\        /      /       _____\\ 
                           |      |5    \/ 481 ||       |5    \/ 481 |        |      |5    \/ 481 || 
      /       _____\    cos|2*atan|-- + -------||   atan|-- + -------|   5*sin|2*atan|-- + -------|| 
      |5    \/ 481 |       \      \12      12  //       \12      12  /        \      \12      12  // 
(-atan|-- + -------|, - ------------------------- + ------------------ + ---------------------------)
      \12      12  /                52                      10                        52             


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$t_{1} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{5}{12} - \frac{\sqrt{481}}{12} \right)}$$
Puntos máximos de la función:
$$t_{1} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{5}{12} + \frac{\sqrt{481}}{12} \right)}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \operatorname{atan}{\left(\frac{5}{12} + \frac{\sqrt{481}}{12} \right)}\right] \cup \left[- \operatorname{atan}{\left(\frac{5}{12} - \frac{\sqrt{481}}{12} \right)}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \operatorname{atan}{\left(\frac{5}{12} + \frac{\sqrt{481}}{12} \right)}, - \operatorname{atan}{\left(\frac{5}{12} - \frac{\sqrt{481}}{12} \right)}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{5 \sin{\left(2 t \right)} + \cos{\left(2 t \right)}}{13} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$t_{1} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{5} \right)}}{2}$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{5} \right)}}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{5} \right)}}{2}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con t->+oo y t->-oo
$$\lim_{t \to -\infty}\left(\left(- \frac{t}{10} + \frac{\left(-1\right) 5 \sin{\left(2 t \right)}}{52}\right) - \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{52}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{t \to \infty}\left(\left(- \frac{t}{10} + \frac{\left(-1\right) 5 \sin{\left(2 t \right)}}{52}\right) - \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{52}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-5*sin(2*t))/52 - t/10 - cos(2*t)/52, dividida por t con t->+oo y t ->-oo
$$\lim_{t \to -\infty}\left(\frac{\left(- \frac{t}{10} + \frac{\left(-1\right) 5 \sin{\left(2 t \right)}}{52}\right) - \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{52}}{t}\right) = - \frac{1}{10}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - \frac{t}{10}$$
$$\lim_{t \to \infty}\left(\frac{\left(- \frac{t}{10} + \frac{\left(-1\right) 5 \sin{\left(2 t \right)}}{52}\right) - \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{52}}{t}\right) = - \frac{1}{10}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = - \frac{t}{10}$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-t) и f = -f(-t).
Pues, comprobamos:
$$\left(- \frac{t}{10} + \frac{\left(-1\right) 5 \sin{\left(2 t \right)}}{52}\right) - \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{52} = \frac{t}{10} + \frac{5 \sin{\left(2 t \right)}}{52} - \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{52}$$
- No
$$\left(- \frac{t}{10} + \frac{\left(-1\right) 5 \sin{\left(2 t \right)}}{52}\right) - \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{52} = - \frac{t}{10} - \frac{5 \sin{\left(2 t \right)}}{52} + \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{52}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar