Gráfico de la función y = log(x,2*x-1)

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          log(x)   
f(x) = ------------
       log(2*x - 1)

$$f{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 x - 1 \right)}}$$

f = log(x)/log(2*x - 1)

Gráfico de la función

Dominio de definición de la función

Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 1$$

Puntos de cruce con el eje de coordenadas X

El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 x - 1 \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X

Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y

El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(x)/log(2*x - 1).
$$\frac{\log{\left(0 \right)}}{\log{\left(-1 + 0 \cdot 2 \right)}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}$$
signof no cruza Y

Extremos de la función

Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 \log{\left(x \right)}}{\left(2 x - 1\right) \log{\left(2 x - 1 \right)}^{2}} + \frac{1}{x \log{\left(2 x - 1 \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos

Puntos de flexiones

Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\frac{4 \left(1 + \frac{2}{\log{\left(2 x - 1 \right)}}\right) \log{\left(x \right)}}{\left(2 x - 1\right)^{2} \log{\left(2 x - 1 \right)}} - \frac{4}{x \left(2 x - 1\right) \log{\left(2 x - 1 \right)}} - \frac{1}{x^{2}}}{\log{\left(2 x - 1 \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 192799.868958311$$
$$x_{2} = 168591.178470941$$
$$x_{3} = 92966.4877886856$$
$$x_{4} = 135113.283271347$$
$$x_{5} = 149396.350599736$$
$$x_{6} = 158973.334359218$$
$$x_{7} = 207428.027072087$$
$$x_{8} = 83773.4524097231$$
$$x_{9} = 130375.732035869$$
$$x_{10} = 197667.775189082$$
$$x_{11} = 116239.554226526$$
$$x_{12} = 217219.586169279$$
$$x_{13} = 120938.388540661$$
$$x_{14} = 154179.579113005$$
$$x_{15} = 173414.686516363$$
$$x_{16} = 106884.23209112$$
$$x_{17} = 74657.2680720997$$
$$x_{18} = 222126.657681893$$
$$x_{19} = 79205.2297330639$$
$$x_{20} = 102228.942081859$$
$$x_{21} = 163777.3003064$$
$$x_{22} = 70130.7624851036$$
$$x_{23} = 212319.984842555$$
$$x_{24} = 111554.643610193$$
$$x_{25} = 202543.894024119$$
$$x_{26} = 187940.383254848$$
$$x_{27} = 88360.8619389959$$
$$x_{28} = 183089.53622477$$
$$x_{29} = 227041.033321087$$
$$x_{30} = 144623.983966592$$
$$x_{31} = 97589.4489170793$$
$$x_{32} = 139862.835233527$$
$$x_{33} = 125650.613100783$$
$$x_{34} = 178247.556996465$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$

$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\frac{4 \left(1 + \frac{2}{\log{\left(2 x - 1 \right)}}\right) \log{\left(x \right)}}{\left(2 x - 1\right)^{2} \log{\left(2 x - 1 \right)}} - \frac{4}{x \left(2 x - 1\right) \log{\left(2 x - 1 \right)}} - \frac{1}{x^{2}}}{\log{\left(2 x - 1 \right)}}\right) = -0.500000000000001$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{4 \left(1 + \frac{2}{\log{\left(2 x - 1 \right)}}\right) \log{\left(x \right)}}{\left(2 x - 1\right)^{2} \log{\left(2 x - 1 \right)}} - \frac{4}{x \left(2 x - 1\right) \log{\left(2 x - 1 \right)}} - \frac{1}{x^{2}}}{\log{\left(2 x - 1 \right)}}\right) = -0.5$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 1$$
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico

Asíntotas verticales

Hay:
$$x_{1} = 1$$

Asíntotas horizontales

Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 x - 1 \right)}}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 x - 1 \right)}}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$

Asíntotas inclinadas

Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x)/log(2*x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x \log{\left(2 x - 1 \right)}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x \log{\left(2 x - 1 \right)}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda

Paridad e imparidad de la función

Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 x - 1 \right)}} = \frac{\log{\left(- x \right)}}{\log{\left(- 2 x - 1 \right)}}$$
- No
$$\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 x - 1 \right)}} = - \frac{\log{\left(- x \right)}}{\log{\left(- 2 x - 1 \right)}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Expresiones con funciones

Gráfico de la función y = log(x,2*x-1)

Gráfico:

Puntos de intersección:

Definida a trozos:

Solución