Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^4-2x^2+10
-
x^3+3*x^2-9*x
-
x^3-6*x+cos(x)+sin(x)
-
-x^3+6x^2
-
Expresiones idénticas
- log((seis +x)/x)- uno
- logaritmo de ((6 más x) dividir por x) menos 1
- logaritmo de ((seis más x) dividir por x) menos uno
- log6+x/x-1
- log((6+x) dividir por x)-1
-
Expresiones semejantes
- log((6+x)/x)+1
- log((6-x)/x)-1
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(x^2-5x+16,2)-3
- log(x,2*x-1)
- log[1/3,x]
- log(x,cos(x/2))
- log2/logx
Gráfico de la función y = log((6+x)/x)-1
Solución
Ha introducido
[src]
/6 + x\
f(x) = log|-----| - 1
\ x /
$$f{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{x + 6}{x} \right)} - 1$$
f = log((x + 6)/x) - 1
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\log{\left(\frac{x + 6}{x} \right)} - 1 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{6}{-1 + e}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 3.49186024121596$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\log{\left(\frac{x + 6}{x} \right)} - 1 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{6}{-1 + e}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 3.49186024121596$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{x \left(\frac{1}{x} - \frac{x + 6}{x^{2}}\right)}{x + 6} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{x \left(\frac{1}{x} - \frac{x + 6}{x^{2}}\right)}{x + 6} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\left(1 - \frac{x + 6}{x}\right) \left(- \frac{1}{x + 6} - \frac{1}{x}\right)}{x + 6} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -3$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(1 - \frac{x + 6}{x}\right) \left(- \frac{1}{x + 6} - \frac{1}{x}\right)}{x + 6}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(1 - \frac{x + 6}{x}\right) \left(- \frac{1}{x + 6} - \frac{1}{x}\right)}{x + 6}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-3, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -3\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\left(1 - \frac{x + 6}{x}\right) \left(- \frac{1}{x + 6} - \frac{1}{x}\right)}{x + 6} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -3$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(1 - \frac{x + 6}{x}\right) \left(- \frac{1}{x + 6} - \frac{1}{x}\right)}{x + 6}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(1 - \frac{x + 6}{x}\right) \left(- \frac{1}{x + 6} - \frac{1}{x}\right)}{x + 6}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-3, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -3\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\log{\left(\frac{x + 6}{x} \right)} - 1\right) = -1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = -1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\log{\left(\frac{x + 6}{x} \right)} - 1\right) = -1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = -1$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\log{\left(\frac{x + 6}{x} \right)} - 1\right) = -1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = -1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\log{\left(\frac{x + 6}{x} \right)} - 1\right) = -1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = -1$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log((6 + x)/x) - 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{x + 6}{x} \right)} - 1}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{x + 6}{x} \right)} - 1}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{x + 6}{x} \right)} - 1}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{x + 6}{x} \right)} - 1}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\log{\left(\frac{x + 6}{x} \right)} - 1 = \log{\left(- \frac{6 - x}{x} \right)} - 1$$
- No
$$\log{\left(\frac{x + 6}{x} \right)} - 1 = 1 - \log{\left(- \frac{6 - x}{x} \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\log{\left(\frac{x + 6}{x} \right)} - 1 = \log{\left(- \frac{6 - x}{x} \right)} - 1$$
- No
$$\log{\left(\frac{x + 6}{x} \right)} - 1 = 1 - \log{\left(- \frac{6 - x}{x} \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar