Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ arccos((x-2)/(2*x))

Gráfico de la función y = arccos((x-2)/(2*x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           /x - 2\
f(x) = acos|-----|
           \ 2*x /
f(x)=acos⁡(x−22x)f{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(\frac{x - 2}{2 x} \right)} 
f = acos((x - 2)/((2*x)))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.05.0
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
acos⁡(x−22x)=0\operatorname{acos}{\left(\frac{x - 2}{2 x} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−2x_{1} = -2
Solución numérica
x1=−2x_{1} = -2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en acos((x - 2)/((2*x))).
acos⁡(−20⋅2)\operatorname{acos}{\left(- \frac{2}{0 \cdot 2} \right)}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−12x−x−22x21−(x−2)24x2=0- \frac{\frac{1}{2 x} - \frac{x - 2}{2 x^{2}}}{\sqrt{1 - \frac{\left(x - 2\right)^{2}}{4 x^{2}}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(1−x−2x)(1−(1−x−2x)(x−2)8x(1−(x−2)24x2))x21−(x−2)24x2=0\frac{\left(1 - \frac{x - 2}{x}\right) \left(1 - \frac{\left(1 - \frac{x - 2}{x}\right) \left(x - 2\right)}{8 x \left(1 - \frac{\left(x - 2\right)^{2}}{4 x^{2}}\right)}\right)}{x^{2} \sqrt{1 - \frac{\left(x - 2\right)^{2}}{4 x^{2}}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−12+336x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{33}}{6}
x2=−336−12x_{2} = - \frac{\sqrt{33}}{6} - \frac{1}{2}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−((1−x−2x)(1−(1−x−2x)(x−2)8x(1−(x−2)24x2))x21−(x−2)24x2)=∞i\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(1 - \frac{x - 2}{x}\right) \left(1 - \frac{\left(1 - \frac{x - 2}{x}\right) \left(x - 2\right)}{8 x \left(1 - \frac{\left(x - 2\right)^{2}}{4 x^{2}}\right)}\right)}{x^{2} \sqrt{1 - \frac{\left(x - 2\right)^{2}}{4 x^{2}}}}\right) = \infty i
lim⁡x→0+((1−x−2x)(1−(1−x−2x)(x−2)8x(1−(x−2)24x2))x21−(x−2)24x2)=−∞i\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(1 - \frac{x - 2}{x}\right) \left(1 - \frac{\left(1 - \frac{x - 2}{x}\right) \left(x - 2\right)}{8 x \left(1 - \frac{\left(x - 2\right)^{2}}{4 x^{2}}\right)}\right)}{x^{2} \sqrt{1 - \frac{\left(x - 2\right)^{2}}{4 x^{2}}}}\right) = - \infty i
- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞acos⁡(x−22x)=π3\lim_{x \to -\infty} \operatorname{acos}{\left(\frac{x - 2}{2 x} \right)} = \frac{\pi}{3}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=π3y = \frac{\pi}{3}
lim⁡x→∞acos⁡(x−22x)=π3\lim_{x \to \infty} \operatorname{acos}{\left(\frac{x - 2}{2 x} \right)} = \frac{\pi}{3}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=π3y = \frac{\pi}{3}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función acos((x - 2)/((2*x))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(acos⁡(x−22x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{x - 2}{2 x} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(acos⁡(x−22x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{x - 2}{2 x} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
acos⁡(x−22x)=acos⁡(−−x−22x)\operatorname{acos}{\left(\frac{x - 2}{2 x} \right)} = \operatorname{acos}{\left(- \frac{- x - 2}{2 x} \right)}
- No
acos⁡(x−22x)=−acos⁡(−−x−22x)\operatorname{acos}{\left(\frac{x - 2}{2 x} \right)} = - \operatorname{acos}{\left(- \frac{- x - 2}{2 x} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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