Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ arccos((1-x^(2))/(1+x^(2)))-((2)/(17))x

Gráfico de la función y = arccos((1-x^(2))/(1+x^(2)))-((2)/(17))x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           /     2\                      
           |1 - x |                      
f(x) = acos|------| - 0.117647058823529*x
           |     2|                      
           \1 + x /
f(x)=−0.117647058823529x+acos⁡(1−x2x2+1)f{\left(x \right)} = - 0.117647058823529 x + \operatorname{acos}{\left(\frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 1} \right)} 
f = -0.117647058823529*x + acos((1 - x^2)/(x^2 + 1))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101005
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−0.117647058823529x+acos⁡(1−x2x2+1)=0- 0.117647058823529 x + \operatorname{acos}{\left(\frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 1} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
x2=26.0512991542169x_{2} = 26.0512991542169
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en acos((1 - x^2)/(1 + x^2)) - 0.117647058823529*x.
acos⁡(1−0202+1)−0⋅0.117647058823529\operatorname{acos}{\left(\frac{1 - 0^{2}}{0^{2} + 1} \right)} - 0 \cdot 0.117647058823529
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−0.117647058823529−−2x(1−x2)(x2+1)2−2xx2+1−(1−x2)2(x2+1)2+1=0-0.117647058823529 - \frac{- \frac{2 x \left(1 - x^{2}\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{2 x}{x^{2} + 1}}{\sqrt{- \frac{\left(1 - x^{2}\right)^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=4x_{1} = 4
Signos de extremos en los puntos:
(4, 2.18104709204195)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=4x_{1} = 4
Decrece en los intervalos
(−∞,4]\left(-\infty, 4\right]
Crece en los intervalos
[4,∞)\left[4, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(4x2(x2−1)(x2+1)2+2x2(x2−1)(x2−1x2+1−1)2(x2+1)2(−(1−x2)2(x2+1)2+1)−4x2x2+1−x2−1x2+1+1)(x2+1)−(1−x2)2(x2+1)2+1=0\frac{2 \left(\frac{4 x^{2} \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{2 x^{2} \left(x^{2} - 1\right) \left(\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1} - 1\right)^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2} \left(- \frac{\left(1 - x^{2}\right)^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + 1\right)} - \frac{4 x^{2}}{x^{2} + 1} - \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1} + 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right) \sqrt{- \frac{\left(1 - x^{2}\right)^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−0.117647058823529x+acos⁡(1−x2x2+1))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(- 0.117647058823529 x + \operatorname{acos}{\left(\frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 1} \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(−0.117647058823529x+acos⁡(1−x2x2+1))=−∞\lim_{x \to \infty}\left(- 0.117647058823529 x + \operatorname{acos}{\left(\frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 1} \right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función acos((1 - x^2)/(1 + x^2)) - 0.117647058823529*x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−0.117647058823529x+acos⁡(1−x2x2+1)x)=−0.117647058823529\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 0.117647058823529 x + \operatorname{acos}{\left(\frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 1} \right)}}{x}\right) = -0.117647058823529
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−0.117647058823529xy = - 0.117647058823529 x
lim⁡x→∞(−0.117647058823529x+acos⁡(1−x2x2+1)x)=−0.117647058823529\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 0.117647058823529 x + \operatorname{acos}{\left(\frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 1} \right)}}{x}\right) = -0.117647058823529
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=−0.117647058823529xy = - 0.117647058823529 x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−0.117647058823529x+acos⁡(1−x2x2+1)=0.117647058823529x+acos⁡(1−x2x2+1)- 0.117647058823529 x + \operatorname{acos}{\left(\frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 1} \right)} = 0.117647058823529 x + \operatorname{acos}{\left(\frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 1} \right)}
- No
−0.117647058823529x+acos⁡(1−x2x2+1)=−0.117647058823529x−acos⁡(1−x2x2+1)- 0.117647058823529 x + \operatorname{acos}{\left(\frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 1} \right)} = - 0.117647058823529 x - \operatorname{acos}{\left(\frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 1} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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