Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ arccos^3(x/3)

Gráfico de la función y = arccos^3(x/3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           3/x\
f(x) = acos |-|
            \3/
f(x)=acos⁡3(x3)f{\left(x \right)} = \operatorname{acos}^{3}{\left(\frac{x}{3} \right)} 
f = acos(x/3)^3
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010050
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
acos⁡3(x3)=0\operatorname{acos}^{3}{\left(\frac{x}{3} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=3x_{1} = 3
Solución numérica
x1=3.00000000900027x_{1} = 3.00000000900027
x2=2.99999999950801x_{2} = 2.99999999950801
x3=2.99999999870828x_{3} = 2.99999999870828
x4=3.00000001252141x_{4} = 3.00000001252141
x5=3.00000000022804x_{5} = 3.00000000022804
x6=3.0000000027942x_{6} = 3.0000000027942
x7=2.99999999991785x_{7} = 2.99999999991785
x8=2.99999999850633x_{8} = 2.99999999850633
x9=3.00000000016904x_{9} = 3.00000000016904
x10=3.00000000009657x_{10} = 3.00000000009657
x11=3.00000000020682x_{11} = 3.00000000020682
x12=3.00000000008136x_{12} = 3.00000000008136
x13=3.00000000021366x_{13} = 3.00000000021366
x14=3.00000000628064x_{14} = 3.00000000628064
x15=3.00000001407535x_{15} = 3.00000001407535
x16=3.00000000523944x_{16} = 3.00000000523944
x17=3.00000000282715x_{17} = 3.00000000282715
x18=3.00000000281721x_{18} = 3.00000000281721
x19=3.00000000251654x_{19} = 3.00000000251654
x20=2.99999999977739x_{20} = 2.99999999977739
x21=3.00000000498321x_{21} = 3.00000000498321
x22=3.00000000273645x_{22} = 3.00000000273645
x23=3.00000000023102x_{23} = 3.00000000023102
x24=3.00000000170794x_{24} = 3.00000000170794
x25=3.00000000945632x_{25} = 3.00000000945632
x26=3.00000001018833x_{26} = 3.00000001018833
x27=3.0000000112129x_{27} = 3.0000000112129
x28=3.00000000000235x_{28} = 3.00000000000235
x29=3.00000000016548x_{29} = 3.00000000016548
x30=3.00000000453742x_{30} = 3.00000000453742
x31=2.99999999997554x_{31} = 2.99999999997554
x32=2.99999999916029x_{32} = 2.99999999916029
x33=3.00000001580597x_{33} = 3.00000001580597
x34=3.00000000195897x_{34} = 3.00000000195897
x35=2.99999999956895x_{35} = 2.99999999956895
x36=2.99999999950696x_{36} = 2.99999999950696
x37=2.99999999880108x_{37} = 2.99999999880108
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en acos(x/3)^3.
acos⁡3(03)\operatorname{acos}^{3}{\left(\frac{0}{3} \right)}
Resultado:
f(0)=π38f{\left(0 \right)} = \frac{\pi^{3}}{8}
Punto:
(0, pi^3/8)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−acos⁡2(x3)1−x29=0- \frac{\operatorname{acos}^{2}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{9}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(xacos⁡(x3)(1−x29)32+54x2−9)acos⁡(x3)9=0- \frac{\left(\frac{x \operatorname{acos}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{\left(1 - \frac{x^{2}}{9}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{54}{x^{2} - 9}\right) \operatorname{acos}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{9} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=10.4015010994687x_{1} = 10.4015010994687

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞acos⁡3(x3)=∞i\lim_{x \to -\infty} \operatorname{acos}^{3}{\left(\frac{x}{3} \right)} = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞acos⁡3(x3)=−∞i\lim_{x \to \infty} \operatorname{acos}^{3}{\left(\frac{x}{3} \right)} = - \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función acos(x/3)^3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(acos⁡3(x3)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{acos}^{3}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(acos⁡3(x3)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{acos}^{3}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
acos⁡3(x3)=acos⁡3(−x3)\operatorname{acos}^{3}{\left(\frac{x}{3} \right)} = \operatorname{acos}^{3}{\left(- \frac{x}{3} \right)}
- No
acos⁡3(x3)=−acos⁡3(−x3)\operatorname{acos}^{3}{\left(\frac{x}{3} \right)} = - \operatorname{acos}^{3}{\left(- \frac{x}{3} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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