Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ arccos((1-x)/(x+2))-exp(sqrt(4-x))

Gráfico de la función y = arccos((1-x)/(x+2))-exp(sqrt(4-x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                        _______
           /1 - x\    \/ 4 - x 
f(x) = acos|-----| - e         
           \x + 2/
f(x)=−e4−x+acos⁡(1−xx+2)f{\left(x \right)} = - e^{\sqrt{4 - x}} + \operatorname{acos}{\left(\frac{1 - x}{x + 2} \right)} 
f = -exp(sqrt(4 - x)) + acos((1 - x)/(x + 2))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−2x_{1} = -2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−e4−x+acos⁡(1−xx+2)=0- e^{\sqrt{4 - x}} + \operatorname{acos}{\left(\frac{1 - x}{x + 2} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=3.49057867871773x_{1} = 3.49057867871773
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en acos((1 - x)/(x + 2)) - exp(sqrt(4 - x)).
−e4−0+acos⁡(1−02)- e^{\sqrt{4 - 0}} + \operatorname{acos}{\left(\frac{1 - 0}{2} \right)}
Resultado:
f(0)=−e2+π3f{\left(0 \right)} = - e^{2} + \frac{\pi}{3}
Punto:
(0, -exp(2) + pi/3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−−1−x(x+2)2−1x+2−(1−x)2(x+2)2+1+e4−x24−x=0- \frac{- \frac{1 - x}{\left(x + 2\right)^{2}} - \frac{1}{x + 2}}{\sqrt{- \frac{\left(1 - x\right)^{2}}{\left(x + 2\right)^{2}} + 1}} + \frac{e^{\sqrt{4 - x}}}{2 \sqrt{4 - x}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−2x_{1} = -2
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−e4−x+acos⁡(1−xx+2))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(- e^{\sqrt{4 - x}} + \operatorname{acos}{\left(\frac{1 - x}{x + 2} \right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
No se ha logrado calcular el límite a la derecha
lim⁡x→∞(−e4−x+acos⁡(1−xx+2))\lim_{x \to \infty}\left(- e^{\sqrt{4 - x}} + \operatorname{acos}{\left(\frac{1 - x}{x + 2} \right)}\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función acos((1 - x)/(x + 2)) - exp(sqrt(4 - x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−e4−x+acos⁡(1−xx+2)x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- e^{\sqrt{4 - x}} + \operatorname{acos}{\left(\frac{1 - x}{x + 2} \right)}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
No se ha logrado calcular el límite a la derecha
lim⁡x→∞(−e4−x+acos⁡(1−xx+2)x)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- e^{\sqrt{4 - x}} + \operatorname{acos}{\left(\frac{1 - x}{x + 2} \right)}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−e4−x+acos⁡(1−xx+2)=−ex+4+acos⁡(x+12−x)- e^{\sqrt{4 - x}} + \operatorname{acos}{\left(\frac{1 - x}{x + 2} \right)} = - e^{\sqrt{x + 4}} + \operatorname{acos}{\left(\frac{x + 1}{2 - x} \right)}
- No
−e4−x+acos⁡(1−xx+2)=ex+4−acos⁡(x+12−x)- e^{\sqrt{4 - x}} + \operatorname{acos}{\left(\frac{1 - x}{x + 2} \right)} = e^{\sqrt{x + 4}} - \operatorname{acos}{\left(\frac{x + 1}{2 - x} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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