Sr Examen

Gráfico de la función y = arccos(3((abs(x-1)+1/3)))-pi/3

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
                                 pi
f(x) = acos(3*(|x - 1| + 1/3)) - --
                                 3 
$$f{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(3 \left(\left|{x - 1}\right| + \frac{1}{3}\right) \right)} - \frac{\pi}{3}$$
f = acos(3*(|x - 1| + 1/3)) - pi/3
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\operatorname{acos}{\left(3 \left(\left|{x - 1}\right| + \frac{1}{3}\right) \right)} - \frac{\pi}{3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en acos(3*(|x - 1| + 1/3)) - pi/3.
$$- \frac{\pi}{3} + \operatorname{acos}{\left(3 \left(\frac{1}{3} + \left|{-1}\right|\right) \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = - \frac{\pi}{3} + \operatorname{acos}{\left(4 \right)}$$
Punto:
(0, -pi/3 + acos(4))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{3 \operatorname{sign}{\left(x - 1 \right)}}{\sqrt{1 - 9 \left(\left|{x - 1}\right| + \frac{1}{3}\right)^{2}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{3 \left(2 \delta\left(x - 1\right) + \frac{3 \left(3 \left|{x - 1}\right| + 1\right) \operatorname{sign}^{2}{\left(x - 1 \right)}}{1 - \left(3 \left|{x - 1}\right| + 1\right)^{2}}\right)}{\sqrt{1 - \left(3 \left|{x - 1}\right| + 1\right)^{2}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\operatorname{acos}{\left(3 \left(\left|{x - 1}\right| + \frac{1}{3}\right) \right)} - \frac{\pi}{3}\right) = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\operatorname{acos}{\left(3 \left(\left|{x - 1}\right| + \frac{1}{3}\right) \right)} - \frac{\pi}{3}\right) = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función acos(3*(|x - 1| + 1/3)) - pi/3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(3 \left(\left|{x - 1}\right| + \frac{1}{3}\right) \right)} - \frac{\pi}{3}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(3 \left(\left|{x - 1}\right| + \frac{1}{3}\right) \right)} - \frac{\pi}{3}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\operatorname{acos}{\left(3 \left(\left|{x - 1}\right| + \frac{1}{3}\right) \right)} - \frac{\pi}{3} = \operatorname{acos}{\left(3 \left|{x + 1}\right| + 1 \right)} - \frac{\pi}{3}$$
- No
$$\operatorname{acos}{\left(3 \left(\left|{x - 1}\right| + \frac{1}{3}\right) \right)} - \frac{\pi}{3} = - \operatorname{acos}{\left(3 \left|{x + 1}\right| + 1 \right)} + \frac{\pi}{3}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar