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Trazado el gráfico de la función/ 1.5*sin(0.5x-pi/3)-3

Gráfico de la función y = 1.5*sin(0.5x-pi/3)-3

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            /x   pi\    
       3*sin|- - --|    
            \2   3 /    
f(x) = ------------- - 3
             2
f(x)=3sin⁡(x2−π3)2−3f{\left(x \right)} = \frac{3 \sin{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} \right)}}{2} - 3 
f = 3*sin(x/2 - pi/3)/2 - 3
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
3sin⁡(x2−π3)2−3=0\frac{3 \sin{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} \right)}}{2} - 3 = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 3*sin(x/2 - pi/3)/2 - 3.
−3+3sin⁡(−π3+02)2-3 + \frac{3 \sin{\left(- \frac{\pi}{3} + \frac{0}{2} \right)}}{2}
Resultado:
f(0)=−3−334f{\left(0 \right)} = -3 - \frac{3 \sqrt{3}}{4}
Punto:
(0, -3 - 3*sqrt(3)/4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3cos⁡(x2−π3)4=0\frac{3 \cos{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} \right)}}{4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π3x_{1} = - \frac{\pi}{3}
x2=5π3x_{2} = \frac{5 \pi}{3}
Signos de extremos en los puntos:
                 /pi   pi\ 
            3*sin|-- + --| 
 -pi             \6    3 / 
(----, -3 - --------------)
  3               2        

                 /pi   pi\ 
            3*cos|-- - --| 
 5*pi            \3    3 / 
(----, -3 + --------------)
  3               2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−π3x_{1} = - \frac{\pi}{3}
Puntos máximos de la función:
x1=5π3x_{1} = \frac{5 \pi}{3}
Decrece en los intervalos
[−π3,5π3]\left[- \frac{\pi}{3}, \frac{5 \pi}{3}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−π3]∪[5π3,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{3}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−3sin⁡(3x−2π6)8=0- \frac{3 \sin{\left(\frac{3 x - 2 \pi}{6} \right)}}{8} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2π3x_{1} = \frac{2 \pi}{3}
x2=8π3x_{2} = \frac{8 \pi}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,2π3]∪[8π3,∞)\left(-\infty, \frac{2 \pi}{3}\right] \cup \left[\frac{8 \pi}{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[2π3,8π3]\left[\frac{2 \pi}{3}, \frac{8 \pi}{3}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(3sin⁡(x2−π3)2−3)=⟨−92,−32⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 \sin{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} \right)}}{2} - 3\right) = \left\langle - \frac{9}{2}, - \frac{3}{2}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−92,−32⟩y = \left\langle - \frac{9}{2}, - \frac{3}{2}\right\rangle
lim⁡x→∞(3sin⁡(x2−π3)2−3)=⟨−92,−32⟩\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 \sin{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} \right)}}{2} - 3\right) = \left\langle - \frac{9}{2}, - \frac{3}{2}\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−92,−32⟩y = \left\langle - \frac{9}{2}, - \frac{3}{2}\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 3*sin(x/2 - pi/3)/2 - 3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(3sin⁡(x2−π3)2−3x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{3 \sin{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} \right)}}{2} - 3}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(3sin⁡(x2−π3)2−3x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{3 \sin{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} \right)}}{2} - 3}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
3sin⁡(x2−π3)2−3=−3sin⁡(x2+π3)2−3\frac{3 \sin{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} \right)}}{2} - 3 = - \frac{3 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} \right)}}{2} - 3
- No
3sin⁡(x2−π3)2−3=3sin⁡(x2+π3)2+3\frac{3 \sin{\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} \right)}}{2} - 3 = \frac{3 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} \right)}}{2} + 3
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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