Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$- \frac{2 \left(\frac{\left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{2} \left(x - \frac{1}{x}\right)}{\left(x - \frac{1}{x}\right)^{2} + 1} + \frac{1}{x^{3}}\right)}{\left(x - \frac{1}{x}\right)^{2} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \sqrt{-1 + \sqrt{3}}$$
$$x_{2} = \sqrt{-1 + \sqrt{3}}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \frac{2 \left(\frac{\left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{2} \left(x - \frac{1}{x}\right)}{\left(x - \frac{1}{x}\right)^{2} + 1} + \frac{1}{x^{3}}\right)}{\left(x - \frac{1}{x}\right)^{2} + 1}\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2 \left(\frac{\left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{2} \left(x - \frac{1}{x}\right)}{\left(x - \frac{1}{x}\right)^{2} + 1} + \frac{1}{x^{3}}\right)}{\left(x - \frac{1}{x}\right)^{2} + 1}\right) = 0$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{-1 + \sqrt{3}}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\sqrt{-1 + \sqrt{3}}, \infty\right)$$