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Trazado el gráfico de la función/ atan(x-1/x)

Gráfico de la función y = atan(x-1/x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           /    1\
f(x) = atan|x - -|
           \    x/
f(x)=atan⁡(x−1x)f{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(x - \frac{1}{x} \right)} 
f = atan(x - 1/x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
atan⁡(x−1x)=0\operatorname{atan}{\left(x - \frac{1}{x} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Solución numérica
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en atan(x - 1/x).
atan⁡(−10)\operatorname{atan}{\left(- \frac{1}{0} \right)}
Resultado:
f(0)=⟨−π2,π2⟩f{\left(0 \right)} = \left\langle - \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right\rangle
Punto:
(0, AccumBounds(-pi/2, pi/2))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
1+1x2(x−1x)2+1=0\frac{1 + \frac{1}{x^{2}}}{\left(x - \frac{1}{x}\right)^{2} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2((1+1x2)2(x−1x)(x−1x)2+1+1x3)(x−1x)2+1=0- \frac{2 \left(\frac{\left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{2} \left(x - \frac{1}{x}\right)}{\left(x - \frac{1}{x}\right)^{2} + 1} + \frac{1}{x^{3}}\right)}{\left(x - \frac{1}{x}\right)^{2} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−−1+3x_{1} = - \sqrt{-1 + \sqrt{3}}
x2=−1+3x_{2} = \sqrt{-1 + \sqrt{3}}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(−2((1+1x2)2(x−1x)(x−1x)2+1+1x3)(x−1x)2+1)=0\lim_{x \to 0^-}\left(- \frac{2 \left(\frac{\left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{2} \left(x - \frac{1}{x}\right)}{\left(x - \frac{1}{x}\right)^{2} + 1} + \frac{1}{x^{3}}\right)}{\left(x - \frac{1}{x}\right)^{2} + 1}\right) = 0
lim⁡x→0+(−2((1+1x2)2(x−1x)(x−1x)2+1+1x3)(x−1x)2+1)=0\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2 \left(\frac{\left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{2} \left(x - \frac{1}{x}\right)}{\left(x - \frac{1}{x}\right)^{2} + 1} + \frac{1}{x^{3}}\right)}{\left(x - \frac{1}{x}\right)^{2} + 1}\right) = 0
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−−1+3]\left(-\infty, - \sqrt{-1 + \sqrt{3}}\right]
Convexa en los intervalos
[−1+3,∞)\left[\sqrt{-1 + \sqrt{3}}, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞atan⁡(x−1x)=−π2\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(x - \frac{1}{x} \right)} = - \frac{\pi}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−π2y = - \frac{\pi}{2}
lim⁡x→∞atan⁡(x−1x)=π2\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(x - \frac{1}{x} \right)} = \frac{\pi}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=π2y = \frac{\pi}{2}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan(x - 1/x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(atan⁡(x−1x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x - \frac{1}{x} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(atan⁡(x−1x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x - \frac{1}{x} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
atan⁡(x−1x)=−atan⁡(x−1x)\operatorname{atan}{\left(x - \frac{1}{x} \right)} = - \operatorname{atan}{\left(x - \frac{1}{x} \right)}
- No
atan⁡(x−1x)=atan⁡(x−1x)\operatorname{atan}{\left(x - \frac{1}{x} \right)} = \operatorname{atan}{\left(x - \frac{1}{x} \right)}
- Sí
es decir, función
es
impar
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