Sr Examen

Otras calculadoras

Gráfico de la función y = atan(4*x)/1+16*x^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
       atan(4*x)       2
f(x) = --------- + 16*x 
           1            
$$f{\left(x \right)} = 16 x^{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(4 x \right)}}{1}$$
f = 16*x^2 + atan(4*x)/1
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$16 x^{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(4 x \right)}}{1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -0.208401548601669$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en atan(4*x)/1 + 16*x^2.
$$\frac{\operatorname{atan}{\left(0 \cdot 4 \right)}}{1} + 16 \cdot 0^{2}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$32 x + \frac{4}{16 x^{2} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{27}{256} + \frac{3 \sqrt{129}}{256}}}{3} + \frac{1}{16 \sqrt[3]{\frac{27}{256} + \frac{3 \sqrt{129}}{256}}}$$
Signos de extremos en los puntos:
                                                                                                                2                                                               
        _________________                                 /       _________________                            \        /         _________________                           \ 
       /           _____                                  |      /           _____                             |        |        /           _____                            | 
      /   27   3*\/ 129                                   |     /   27   3*\/ 129                              |        |       /   27   3*\/ 129                             | 
   3 /   --- + ---------                                  |  3 /   --- + ---------                             |        |  4*3 /   --- + ---------                            | 
   \/    256      256                   1                 |  \/    256      256                   1            |        |    \/    256      256                  1            | 
(- ---------------------- + -------------------------, 16*|- ---------------------- + -------------------------|  + atan|- ------------------------ + ------------------------|)
             3                      _________________     |            3                      _________________|        |             3                      _________________| 
                                   /           _____      |                                  /           _____ |        |                                   /           _____ | 
                                  /   27   3*\/ 129       |                                 /   27   3*\/ 129  |        |                                  /   27   3*\/ 129  | 
                            16*3 /   --- + ---------      |                           16*3 /   --- + --------- |        |                             4*3 /   --- + --------- | 
                               \/    256      256         \                              \/    256      256    /        \                               \/    256      256    / 


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{27}{256} + \frac{3 \sqrt{129}}{256}}}{3} + \frac{1}{16 \sqrt[3]{\frac{27}{256} + \frac{3 \sqrt{129}}{256}}}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{\frac{27}{256} + \frac{3 \sqrt{129}}{256}}}{3} + \frac{1}{16 \sqrt[3]{\frac{27}{256} + \frac{3 \sqrt{129}}{256}}}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{\frac{27}{256} + \frac{3 \sqrt{129}}{256}}}{3} + \frac{1}{16 \sqrt[3]{\frac{27}{256} + \frac{3 \sqrt{129}}{256}}}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$32 \left(- \frac{4 x}{\left(16 x^{2} + 1\right)^{2}} + 1\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(16 x^{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(4 x \right)}}{1}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(16 x^{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(4 x \right)}}{1}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan(4*x)/1 + 16*x^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{16 x^{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(4 x \right)}}{1}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{16 x^{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(4 x \right)}}{1}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$16 x^{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(4 x \right)}}{1} = 16 x^{2} - \operatorname{atan}{\left(4 x \right)}$$
- No
$$16 x^{2} + \frac{\operatorname{atan}{\left(4 x \right)}}{1} = - 16 x^{2} + \operatorname{atan}{\left(4 x \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar