Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$32 x + \frac{4}{16 x^{2} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{27}{256} + \frac{3 \sqrt{129}}{256}}}{3} + \frac{1}{16 \sqrt[3]{\frac{27}{256} + \frac{3 \sqrt{129}}{256}}}$$
Signos de extremos en los puntos:
2
_________________ / _________________ \ / _________________ \
/ _____ | / _____ | | / _____ |
/ 27 3*\/ 129 | / 27 3*\/ 129 | | / 27 3*\/ 129 |
3 / --- + --------- | 3 / --- + --------- | | 4*3 / --- + --------- |
\/ 256 256 1 | \/ 256 256 1 | | \/ 256 256 1 |
(- ---------------------- + -------------------------, 16*|- ---------------------- + -------------------------| + atan|- ------------------------ + ------------------------|)
3 _________________ | 3 _________________| | 3 _________________|
/ _____ | / _____ | | / _____ |
/ 27 3*\/ 129 | / 27 3*\/ 129 | | / 27 3*\/ 129 |
16*3 / --- + --------- | 16*3 / --- + --------- | | 4*3 / --- + --------- |
\/ 256 256 \ \/ 256 256 / \ \/ 256 256 /
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{27}{256} + \frac{3 \sqrt{129}}{256}}}{3} + \frac{1}{16 \sqrt[3]{\frac{27}{256} + \frac{3 \sqrt{129}}{256}}}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{\frac{27}{256} + \frac{3 \sqrt{129}}{256}}}{3} + \frac{1}{16 \sqrt[3]{\frac{27}{256} + \frac{3 \sqrt{129}}{256}}}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{\frac{27}{256} + \frac{3 \sqrt{129}}{256}}}{3} + \frac{1}{16 \sqrt[3]{\frac{27}{256} + \frac{3 \sqrt{129}}{256}}}\right]$$