Sr Examen

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Gráfico de la función y = atan((x^2)/0.65108-1)-0.6319

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
           /    2      \         
           |   x       |         
f(x) = atan|------- - 1| - 0.6319
           \0.65108    /         
$$f{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{x^{2}}{0.65108} - 1 \right)} - 0.6319$$
f = atan(x^2/0.65108 - 1) - 0.6319
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\operatorname{atan}{\left(\frac{x^{2}}{0.65108} - 1 \right)} - 0.6319 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = -1.06192717625599$$
$$x_{2} = 1.06192717625599$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1.06192717625599$$
$$x_{2} = 1.06192717625599$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en atan(x^2/0.65108 - 1) - 0.6319.
$$\operatorname{atan}{\left(-1 + \frac{0^{2}}{0.65108} \right)} - 0.6319$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = - \frac{\pi}{4} - 0.6319$$
Punto:
(0, -0.6319 - pi/4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{3.07181913128955 x}{\left(\frac{x^{2}}{0.65108} - 1\right)^{2} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Signos de extremos en los puntos:
                pi 
(0, -0.6319 - --)
                4  


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{3.3912413312 x^{2} \left(1.53590956564477 x^{2} - 1\right)}{\left(\left(x^{2} - 0.65108\right)^{2} + 0.4239051664\right)^{2}} + \frac{3.07181913128955}{2.35901819383912 \left(x^{2} - 0.65108\right)^{2} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -0.889508434212953$$
$$x_{2} = 0.889508434212953$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-0.889508434212953, 0.889508434212953\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -0.889508434212953\right] \cup \left[0.889508434212953, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{x^{2}}{0.65108} - 1 \right)} - 0.6319\right) = -0.6319 + 0.5 \pi$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = -0.6319 + 0.5 \pi$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\operatorname{atan}{\left(\frac{x^{2}}{0.65108} - 1 \right)} - 0.6319\right) = -0.6319 + 0.5 \pi$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = -0.6319 + 0.5 \pi$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan(x^2/0.65108 - 1) - 0.6319, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x^{2}}{0.65108} - 1 \right)} - 0.6319}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x^{2}}{0.65108} - 1 \right)} - 0.6319}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\operatorname{atan}{\left(\frac{x^{2}}{0.65108} - 1 \right)} - 0.6319 = \operatorname{atan}{\left(\frac{x^{2}}{0.65108} - 1 \right)} - 0.6319$$
- Sí
$$\operatorname{atan}{\left(\frac{x^{2}}{0.65108} - 1 \right)} - 0.6319 = 0.6319 - \operatorname{atan}{\left(\frac{x^{2}}{0.65108} - 1 \right)}$$
- No
es decir, función
es
par