Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{2 \left(- \frac{x \left(x + 3\right) \left(2 x + 3\right)^{2}}{x^{2} \left(x + 3\right)^{2} + 1} + 1\right)}{x^{2} \left(x + 3\right)^{2} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{3} \left(3 \sqrt{3} + \sqrt{9 + 2 \sqrt{93}}\right)}{6}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{3} \left(- \sqrt{9 + 2 \sqrt{93}} + 3 \sqrt{3}\right)}{6}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{3} \left(3 \sqrt{3} + \sqrt{9 + 2 \sqrt{93}}\right)}{6}, - \frac{\sqrt{3} \left(- \sqrt{9 + 2 \sqrt{93}} + 3 \sqrt{3}\right)}{6}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{3} \left(3 \sqrt{3} + \sqrt{9 + 2 \sqrt{93}}\right)}{6}\right] \cup \left[- \frac{\sqrt{3} \left(- \sqrt{9 + 2 \sqrt{93}} + 3 \sqrt{3}\right)}{6}, \infty\right)$$