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Trazado el gráfico de la función/ atan(x^2+3*x)

Gráfico de la función y = atan(x^2+3*x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           / 2      \
f(x) = atan\x  + 3*x/
f(x)=atan⁡(x2+3x)f{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(x^{2} + 3 x \right)} 
f = atan(x^2 + 3*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102.5-2.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
atan⁡(x2+3x)=0\operatorname{atan}{\left(x^{2} + 3 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−3x_{1} = -3
x2=0x_{2} = 0
Solución numérica
x1=−3x_{1} = -3
x2=0x_{2} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en atan(x^2 + 3*x).
atan⁡(02+0⋅3)\operatorname{atan}{\left(0^{2} + 0 \cdot 3 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x+3(x2+3x)2+1=0\frac{2 x + 3}{\left(x^{2} + 3 x\right)^{2} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−32x_{1} = - \frac{3}{2}
Signos de extremos en los puntos:
(-3/2, -atan(9/4))


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−32x_{1} = - \frac{3}{2}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−32,∞)\left[- \frac{3}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−32]\left(-\infty, - \frac{3}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−x(x+3)(2x+3)2x2(x+3)2+1+1)x2(x+3)2+1=0\frac{2 \left(- \frac{x \left(x + 3\right) \left(2 x + 3\right)^{2}}{x^{2} \left(x + 3\right)^{2} + 1} + 1\right)}{x^{2} \left(x + 3\right)^{2} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−3(33+9+293)6x_{1} = - \frac{\sqrt{3} \left(3 \sqrt{3} + \sqrt{9 + 2 \sqrt{93}}\right)}{6}
x2=−3(−9+293+33)6x_{2} = - \frac{\sqrt{3} \left(- \sqrt{9 + 2 \sqrt{93}} + 3 \sqrt{3}\right)}{6}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−3(33+9+293)6,−3(−9+293+33)6]\left[- \frac{\sqrt{3} \left(3 \sqrt{3} + \sqrt{9 + 2 \sqrt{93}}\right)}{6}, - \frac{\sqrt{3} \left(- \sqrt{9 + 2 \sqrt{93}} + 3 \sqrt{3}\right)}{6}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,−3(33+9+293)6]∪[−3(−9+293+33)6,∞)\left(-\infty, - \frac{\sqrt{3} \left(3 \sqrt{3} + \sqrt{9 + 2 \sqrt{93}}\right)}{6}\right] \cup \left[- \frac{\sqrt{3} \left(- \sqrt{9 + 2 \sqrt{93}} + 3 \sqrt{3}\right)}{6}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞atan⁡(x2+3x)=π2\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(x^{2} + 3 x \right)} = \frac{\pi}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=π2y = \frac{\pi}{2}
lim⁡x→∞atan⁡(x2+3x)=π2\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(x^{2} + 3 x \right)} = \frac{\pi}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=π2y = \frac{\pi}{2}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan(x^2 + 3*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(atan⁡(x2+3x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x^{2} + 3 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(atan⁡(x2+3x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(x^{2} + 3 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
atan⁡(x2+3x)=atan⁡(x2−3x)\operatorname{atan}{\left(x^{2} + 3 x \right)} = \operatorname{atan}{\left(x^{2} - 3 x \right)}
- No
atan⁡(x2+3x)=−atan⁡(x2−3x)\operatorname{atan}{\left(x^{2} + 3 x \right)} = - \operatorname{atan}{\left(x^{2} - 3 x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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