Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$3 e^{3 x} + 2 e^{2 x} - \frac{5 \sin{\left(3 x \right)}}{2} - \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = -26.2457372998649$$
$$x_{2} = -53.4728736309764$$
$$x_{3} = -33.5761201582411$$
$$x_{4} = -28.3401324022581$$
$$x_{5} = -31.4817250558479$$
$$x_{6} = -90.1247879228574$$
$$x_{7} = -57.6616638357628$$
$$x_{8} = -81.7472075132846$$
$$x_{9} = -85.935997718071$$
$$x_{10} = -86.9831952692676$$
$$x_{11} = -41.9537005678139$$
$$x_{12} = -2.15607965292985$$
$$x_{13} = -75.464022206105$$
$$x_{14} = -73.3696271037118$$
$$x_{15} = -48.2368858749935$$
$$x_{16} = -83.8416026156778$$
$$x_{17} = -61.8504540405492$$
$$x_{18} = -19.9625519926853$$
$$x_{19} = -59.756058938156$$
$$x_{20} = -9.49057648221245$$
$$x_{21} = -99.5495658836267$$
$$x_{22} = -88.0303928204642$$
$$x_{23} = -1.15160654861265$$
$$x_{24} = -51.3784785285833$$
$$x_{25} = -13.6793666855061$$
$$x_{26} = -46.1424907726003$$
$$x_{27} = -35.6705152606343$$
$$x_{28} = -66.0392442453356$$
$$x_{29} = -68.1336393477288$$
$$x_{30} = -70.228034450122$$
$$x_{31} = -11.5849715831352$$
$$x_{32} = -3.20784483514768$$
$$x_{33} = -92.2191830252506$$
$$x_{34} = -24.1513421974717$$
$$x_{35} = -37.7649103630275$$
$$x_{36} = -4.25453487753201$$
$$x_{37} = -17.8681568902921$$
$$x_{38} = -39.8593054654207$$
$$x_{39} = -79.6528124108914$$
$$x_{40} = -15.7737617878989$$
$$x_{41} = -97.4551707812335$$
$$x_{42} = -44.0480956702071$$
$$x_{43} = -77.5584173084982$$
$$x_{44} = -22.0569470950785$$
$$x_{45} = -55.5672687333696$$
$$x_{46} = -63.9448491429424$$
Signos de extremos en los puntos:
(-26.245737299864903, -0.849836585598797)
(-53.472873630976444, -0.849836585598797)
(-33.57612015824109, 0.849836585598797)
(-28.3401324022581, -0.849836585598797)
(-31.481725055847892, 0.849836585598797)
(-90.12478792285737, 0.849836585598797)
(-57.66166383576284, -0.849836585598797)
(-81.74720751328458, 0.849836585598797)
(-85.93599771807098, 0.849836585598797)
(-86.98319526926757, -0.849836585598797)
(-41.95370056781387, 0.849836585598797)
(-2.1560796529298454, 0.864728391853151)
(-75.464022206105, 0.849836585598797)
(-73.3696271037118, 0.849836585598797)
(-48.236885874993455, 0.849836585598797)
(-83.84160261567779, 0.849836585598797)
(-61.85045404054923, -0.849836585598797)
(-19.962551992685317, -0.849836585598797)
(-59.75605893815603, -0.849836585598797)
(-9.490576482212449, -0.849836579888972)
(-99.54956588362674, -0.849836585598797)
(-88.03039282046417, 0.849836585598797)
(-1.1516065486126459, -0.712611640894714)
(-51.37847852858325, -0.849836585598797)
(-13.679366685506075, -0.849836585597484)
(-46.14249077260026, 0.849836585598797)
(-35.67051526063428, 0.849836585598797)
(-66.03924424533562, -0.849836585598797)
(-68.13363934772882, -0.849836585598797)
(-70.22803445012201, -0.849836585598797)
(-11.584971583135175, -0.849836585512216)
(-3.207844835147675, -0.848133953715693)
(-92.21918302525056, 0.849836585598797)
(-24.15134219747171, -0.849836585598797)
(-37.76491036302748, 0.849836585598797)
(-4.25453487753201, 0.850041068917239)
(-17.868156890292124, -0.849836585598797)
(-39.859305465420675, 0.849836585598797)
(-79.65281241089139, 0.849836585598797)
(-15.773761787898932, -0.849836585598778)
(-97.45517078123355, -0.849836585598797)
(-44.04809567020707, 0.849836585598797)
(-77.55841730849819, 0.849836585598797)
(-22.056947095078513, -0.849836585598797)
(-55.56726873336964, -0.849836585598797)
(-63.944849142942424, -0.849836585598797)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -26.2457372998649$$
$$x_{2} = -53.4728736309764$$
$$x_{3} = -28.3401324022581$$
$$x_{4} = -57.6616638357628$$
$$x_{5} = -86.9831952692676$$
$$x_{6} = -61.8504540405492$$
$$x_{7} = -19.9625519926853$$
$$x_{8} = -59.756058938156$$
$$x_{9} = -9.49057648221245$$
$$x_{10} = -99.5495658836267$$
$$x_{11} = -1.15160654861265$$
$$x_{12} = -51.3784785285833$$
$$x_{13} = -13.6793666855061$$
$$x_{14} = -66.0392442453356$$
$$x_{15} = -68.1336393477288$$
$$x_{16} = -70.228034450122$$
$$x_{17} = -11.5849715831352$$
$$x_{18} = -3.20784483514768$$
$$x_{19} = -24.1513421974717$$
$$x_{20} = -17.8681568902921$$
$$x_{21} = -15.7737617878989$$
$$x_{22} = -97.4551707812335$$
$$x_{23} = -22.0569470950785$$
$$x_{24} = -55.5672687333696$$
$$x_{25} = -63.9448491429424$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{25} = -33.5761201582411$$
$$x_{25} = -31.4817250558479$$
$$x_{25} = -90.1247879228574$$
$$x_{25} = -81.7472075132846$$
$$x_{25} = -85.935997718071$$
$$x_{25} = -41.9537005678139$$
$$x_{25} = -2.15607965292985$$
$$x_{25} = -75.464022206105$$
$$x_{25} = -73.3696271037118$$
$$x_{25} = -48.2368858749935$$
$$x_{25} = -83.8416026156778$$
$$x_{25} = -88.0303928204642$$
$$x_{25} = -46.1424907726003$$
$$x_{25} = -35.6705152606343$$
$$x_{25} = -92.2191830252506$$
$$x_{25} = -37.7649103630275$$
$$x_{25} = -4.25453487753201$$
$$x_{25} = -39.8593054654207$$
$$x_{25} = -79.6528124108914$$
$$x_{25} = -44.0480956702071$$
$$x_{25} = -77.5584173084982$$
Decrece en los intervalos
$$\left[-1.15160654861265, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -99.5495658836267\right]$$