Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ x^2/sqrt(x^2-4)

Gráfico de la función y = x^2/sqrt(x^2-4)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
             2    
            x     
f(x) = -----------
          ________
         /  2     
       \/  x  - 4
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 4}}$$ 
f = x^2/sqrt(x^2 - 4)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 4}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^2/sqrt(x^2 - 4).
$$\frac{0^{2}}{\sqrt{-4 + 0^{2}}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{x^{3}}{\left(x^{2} - 4\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} - 4}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - 2 \sqrt{2}$$
$$x_{3} = 2 \sqrt{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)

      ___    
(-2*\/ 2, 4)

     ___    
(2*\/ 2, 4)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - 2 \sqrt{2}$$
$$x_{2} = 2 \sqrt{2}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[2 \sqrt{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \sqrt{2}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\frac{x^{2} \left(\frac{3 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right)}{x^{2} - 4} - \frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} + 2}{\sqrt{x^{2} - 4}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 4}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 4}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^2/sqrt(x^2 - 4), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 4}}\right) = -1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 4}}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 4}} = \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 4}}$$
- Sí
$$\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 4}} = - \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 4}}$$
- No
es decir, función
es
par
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