Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ tan(x/2+1/5)-x^2

Gráfico de la función y = tan(x/2+1/5)-x^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /x   1\    2
f(x) = tan|- + -| - x 
          \2   5/
f(x)=−x2+tan⁡(x2+15)f{\left(x \right)} = - x^{2} + \tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{1}{5} \right)} 
f = -x^2 + tan(x/2 + 1/5)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-250250
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−x2+tan⁡(x2+15)=0- x^{2} + \tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{1}{5} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=−0.262453541713775x_{1} = -0.262453541713775
x2=0.848918404104985x_{2} = 0.848918404104985
x3=2.39693456673001x_{3} = 2.39693456673001
x4=−3.68834545661161x_{4} = -3.68834545661161
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en tan(x/2 + 1/5) - x^2.
−02+tan⁡(02+15)- 0^{2} + \tan{\left(\frac{0}{2} + \frac{1}{5} \right)}
Resultado:
f(0)=tan⁡(15)f{\left(0 \right)} = \tan{\left(\frac{1}{5} \right)}
Punto:
(0, tan(1/5))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2x+tan⁡2(x2+15)2+12=0- 2 x + \frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} + \frac{1}{5} \right)}}{2} + \frac{1}{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=3.29933130645088x_{1} = 3.29933130645088
x2=40.2829835324594x_{2} = 40.2829835324594
x3=28.0633839813431x_{3} = 28.0633839813431
x4=78.2529211920712x_{4} = 78.2529211920712
x5=2.02320397117636x_{5} = 2.02320397117636
x6=33.9857737128257x_{6} = 33.9857737128257
x7=0.281424365376382x_{7} = 0.281424365376382
Signos de extremos en los puntos:
(3.299331306450877, -14.37805399524)

(40.2829835324594, -1610.06443755598)

(28.0633839813431, -798.101199656775)

(78.25292119207124, -6141.18352758194)

(2.0232039711763554, -1.43012020648632)

(33.985773712825704, -1143.41631388658)

(0.28142436537638177, 0.275338704615735)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=40.2829835324594x_{1} = 40.2829835324594
x2=2.02320397117636x_{2} = 2.02320397117636
x3=33.9857737128257x_{3} = 33.9857737128257
Puntos máximos de la función:
x3=3.29933130645088x_{3} = 3.29933130645088
x3=28.0633839813431x_{3} = 28.0633839813431
x3=78.2529211920712x_{3} = 78.2529211920712
x3=0.281424365376382x_{3} = 0.281424365376382
Decrece en los intervalos
[40.2829835324594,∞)\left[40.2829835324594, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,2.02320397117636]\left(-\infty, 2.02320397117636\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(tan⁡2(5x+210)+1)tan⁡(5x+210)2−2=0\frac{\left(\tan^{2}{\left(\frac{5 x + 2}{10} \right)} + 1\right) \tan{\left(\frac{5 x + 2}{10} \right)}}{2} - 2 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−25−2atan⁡(−2+32793+132+32793)x_{1} = - \frac{2}{5} - 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt[3]{2 + \frac{\sqrt{327}}{9}} + \frac{1}{3 \sqrt[3]{2 + \frac{\sqrt{327}}{9}}} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−25−2atan⁡(−2+32793+132+32793),∞)\left[- \frac{2}{5} - 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt[3]{2 + \frac{\sqrt{327}}{9}} + \frac{1}{3 \sqrt[3]{2 + \frac{\sqrt{327}}{9}}} \right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−25−2atan⁡(−2+32793+132+32793)]\left(-\infty, - \frac{2}{5} - 2 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt[3]{2 + \frac{\sqrt{327}}{9}} + \frac{1}{3 \sqrt[3]{2 + \frac{\sqrt{327}}{9}}} \right)}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞(−x2+tan⁡(x2+15))y = \lim_{x \to -\infty}\left(- x^{2} + \tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{1}{5} \right)}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞(−x2+tan⁡(x2+15))y = \lim_{x \to \infty}\left(- x^{2} + \tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{1}{5} \right)}\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función tan(x/2 + 1/5) - x^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(−x2+tan⁡(x2+15)x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{2} + \tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{1}{5} \right)}}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(−x2+tan⁡(x2+15)x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{2} + \tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{1}{5} \right)}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−x2+tan⁡(x2+15)=−x2−tan⁡(x2−15)- x^{2} + \tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{1}{5} \right)} = - x^{2} - \tan{\left(\frac{x}{2} - \frac{1}{5} \right)}
- No
−x2+tan⁡(x2+15)=x2+tan⁡(x2−15)- x^{2} + \tan{\left(\frac{x}{2} + \frac{1}{5} \right)} = x^{2} + \tan{\left(\frac{x}{2} - \frac{1}{5} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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