Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$- 2 x + \frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} + \frac{1}{5} \right)}}{2} + \frac{1}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 3.29933130645088$$
$$x_{2} = 40.2829835324594$$
$$x_{3} = 28.0633839813431$$
$$x_{4} = 78.2529211920712$$
$$x_{5} = 2.02320397117636$$
$$x_{6} = 33.9857737128257$$
$$x_{7} = 0.281424365376382$$
Signos de extremos en los puntos:
(3.299331306450877, -14.37805399524)
(40.2829835324594, -1610.06443755598)
(28.0633839813431, -798.101199656775)
(78.25292119207124, -6141.18352758194)
(2.0232039711763554, -1.43012020648632)
(33.985773712825704, -1143.41631388658)
(0.28142436537638177, 0.275338704615735)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 40.2829835324594$$
$$x_{2} = 2.02320397117636$$
$$x_{3} = 33.9857737128257$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{3} = 3.29933130645088$$
$$x_{3} = 28.0633839813431$$
$$x_{3} = 78.2529211920712$$
$$x_{3} = 0.281424365376382$$
Decrece en los intervalos
$$\left[40.2829835324594, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 2.02320397117636\right]$$