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Trazado el gráfico de la función/ tan(x/5)-x-3

Gráfico de la función y = tan(x/5)-x-3

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /x\        
f(x) = tan|-| - x - 3
          \5/
f(x)=(−x+tan⁡(x5))−3f{\left(x \right)} = \left(- x + \tan{\left(\frac{x}{5} \right)}\right) - 3 
f = -x + tan(x/5) - 3
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-500500
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−x+tan⁡(x5))−3=0\left(- x + \tan{\left(\frac{x}{5} \right)}\right) - 3 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=−4.05078575828781x_{1} = -4.05078575828781
x2=−6.43914365624239x_{2} = -6.43914365624239
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en tan(x/5) - x - 3.
−3+(tan⁡(05)−0)-3 + \left(\tan{\left(\frac{0}{5} \right)} - 0\right)
Resultado:
f(0)=−3f{\left(0 \right)} = -3
Punto:
(0, -3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
tan⁡2(x5)5−45=0\frac{\tan^{2}{\left(\frac{x}{5} \right)}}{5} - \frac{4}{5} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−5atan⁡(2)x_{1} = - 5 \operatorname{atan}{\left(2 \right)}
x2=5atan⁡(2)x_{2} = 5 \operatorname{atan}{\left(2 \right)}
Signos de extremos en los puntos:
(-5*atan(2), -5 + 5*atan(2))

(5*atan(2), -1 - 5*atan(2))


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=5atan⁡(2)x_{1} = 5 \operatorname{atan}{\left(2 \right)}
Puntos máximos de la función:
x1=−5atan⁡(2)x_{1} = - 5 \operatorname{atan}{\left(2 \right)}
Decrece en los intervalos
(−∞,−5atan⁡(2)]∪[5atan⁡(2),∞)\left(-\infty, - 5 \operatorname{atan}{\left(2 \right)}\right] \cup \left[5 \operatorname{atan}{\left(2 \right)}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−5atan⁡(2),5atan⁡(2)]\left[- 5 \operatorname{atan}{\left(2 \right)}, 5 \operatorname{atan}{\left(2 \right)}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(tan⁡2(x5)+1)tan⁡(x5)25=0\frac{2 \left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{5} \right)} + 1\right) \tan{\left(\frac{x}{5} \right)}}{25} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞((−x+tan⁡(x5))−3)y = \lim_{x \to -\infty}\left(\left(- x + \tan{\left(\frac{x}{5} \right)}\right) - 3\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞((−x+tan⁡(x5))−3)y = \lim_{x \to \infty}\left(\left(- x + \tan{\left(\frac{x}{5} \right)}\right) - 3\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función tan(x/5) - x - 3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞((−x+tan⁡(x5))−3x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- x + \tan{\left(\frac{x}{5} \right)}\right) - 3}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞((−x+tan⁡(x5))−3x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x + \tan{\left(\frac{x}{5} \right)}\right) - 3}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−x+tan⁡(x5))−3=x−tan⁡(x5)−3\left(- x + \tan{\left(\frac{x}{5} \right)}\right) - 3 = x - \tan{\left(\frac{x}{5} \right)} - 3
- No
(−x+tan⁡(x5))−3=−x+tan⁡(x5)+3\left(- x + \tan{\left(\frac{x}{5} \right)}\right) - 3 = - x + \tan{\left(\frac{x}{5} \right)} + 3
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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