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Trazado el gráfico de la función/ tan^2(x)+ctg^2(x)

Gráfico de la función y = tan^2(x)+ctg^2(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          2         2   
f(x) = tan (x) + cot (x)
f(x)=tan⁡2(x)+cot⁡2(x)f{\left(x \right)} = \tan^{2}{\left(x \right)} + \cot^{2}{\left(x \right)} 
f = tan(x)^2 + cot(x)^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100500000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
tan⁡2(x)+cot⁡2(x)=0\tan^{2}{\left(x \right)} + \cot^{2}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(2tan⁡2(x)+2)tan⁡(x)+(−2cot⁡2(x)−2)cot⁡(x)=0\left(2 \tan^{2}{\left(x \right)} + 2\right) \tan{\left(x \right)} + \left(- 2 \cot^{2}{\left(x \right)} - 2\right) \cot{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
x2=π4x_{2} = \frac{\pi}{4}
Signos de extremos en los puntos:
 -pi     
(----, 2)
  4      

 pi    
(--, 2)
 4


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
x2=π4x_{2} = \frac{\pi}{4}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[π4,∞)\left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−π4]\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2((tan⁡2(x)+1)2+2(tan⁡2(x)+1)tan⁡2(x)+(cot⁡2(x)+1)2+2(cot⁡2(x)+1)cot⁡2(x))=02 \left(\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} + 2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan^{2}{\left(x \right)} + \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} + 2 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot^{2}{\left(x \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞(tan⁡2(x)+cot⁡2(x))y = \lim_{x \to -\infty}\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + \cot^{2}{\left(x \right)}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞(tan⁡2(x)+cot⁡2(x))y = \lim_{x \to \infty}\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + \cot^{2}{\left(x \right)}\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función tan(x)^2 + cot(x)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(tan⁡2(x)+cot⁡2(x)x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + \cot^{2}{\left(x \right)}}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(tan⁡2(x)+cot⁡2(x)x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + \cot^{2}{\left(x \right)}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
tan⁡2(x)+cot⁡2(x)=tan⁡2(x)+cot⁡2(x)\tan^{2}{\left(x \right)} + \cot^{2}{\left(x \right)} = \tan^{2}{\left(x \right)} + \cot^{2}{\left(x \right)}
- Sí
tan⁡2(x)+cot⁡2(x)=−tan⁡2(x)−cot⁡2(x)\tan^{2}{\left(x \right)} + \cot^{2}{\left(x \right)} = - \tan^{2}{\left(x \right)} - \cot^{2}{\left(x \right)}
- No
es decir, función
es
par
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