Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ cos(5)^(2)+cos(x)^(45)

Gráfico de la función y = cos(5)^(2)+cos(x)^(45)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          2         45   
f(x) = cos (5) + cos  (x)
f(x)=cos⁡45(x)+cos⁡2(5)f{\left(x \right)} = \cos^{45}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(5 \right)} 
f = cos(x)^45 + cos(5)^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡45(x)+cos⁡2(5)=0\cos^{45}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(5 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−acos⁡(−cos⁡245(5)cos⁡2(π45)−sin⁡2(π45)cos⁡245(5))+2πx_{1} = - \operatorname{acos}{\left(- \cos^{\frac{2}{45}}{\left(5 \right)} \cos^{2}{\left(\frac{\pi}{45} \right)} - \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{45} \right)} \cos^{\frac{2}{45}}{\left(5 \right)} \right)} + 2 \pi
x2=acos⁡(−cos⁡245(5)cos⁡2(π45)−sin⁡2(π45)cos⁡245(5))x_{2} = \operatorname{acos}{\left(- \cos^{\frac{2}{45}}{\left(5 \right)} \cos^{2}{\left(\frac{\pi}{45} \right)} - \sin^{2}{\left(\frac{\pi}{45} \right)} \cos^{\frac{2}{45}}{\left(5 \right)} \right)}
Solución numérica
x1=3.47313834019628x_{1} = 3.47313834019628
x2=2.81004696698331x_{2} = 2.81004696698331
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(5)^2 + cos(x)^45.
cos⁡2(5)+cos⁡45(0)\cos^{2}{\left(5 \right)} + \cos^{45}{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=cos⁡2(5)+1f{\left(0 \right)} = \cos^{2}{\left(5 \right)} + 1
Punto:
(0, 1 + cos(5)^2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−45sin⁡(x)cos⁡44(x)=0- 45 \sin{\left(x \right)} \cos^{44}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−π2x_{2} = - \frac{\pi}{2}
x3=π2x_{3} = \frac{\pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
           2    
(0, 1 + cos (5))

 -pi      2    
(----, cos (5))
  2            

 pi     2    
(--, cos (5))
 2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Puntos máximos de la función:
x2=0x_{2} = 0
Decrece en los intervalos
[−π2,0]∪[π2,∞)\left[- \frac{\pi}{2}, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−π2]∪[0,π2]\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[0, \frac{\pi}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
45(44sin⁡2(x)−cos⁡2(x))cos⁡43(x)=045 \left(44 \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \cos^{43}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
x3=−2atan⁡(89−1255)x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{89 - 12 \sqrt{55}} \right)}
x4=2atan⁡(89−1255)x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{89 - 12 \sqrt{55}} \right)}
x5=−2atan⁡(1255+89)x_{5} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{12 \sqrt{55} + 89} \right)}
x6=2atan⁡(1255+89)x_{6} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{12 \sqrt{55} + 89} \right)}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[2atan⁡(1255+89),∞)\left[2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{12 \sqrt{55} + 89} \right)}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−π2]\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡45(x)+cos⁡2(5))=⟨−1,1⟩+cos⁡2(5)\lim_{x \to -\infty}\left(\cos^{45}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(5 \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle + \cos^{2}{\left(5 \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩+cos⁡2(5)y = \left\langle -1, 1\right\rangle + \cos^{2}{\left(5 \right)}
lim⁡x→∞(cos⁡45(x)+cos⁡2(5))=⟨−1,1⟩+cos⁡2(5)\lim_{x \to \infty}\left(\cos^{45}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(5 \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle + \cos^{2}{\left(5 \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩+cos⁡2(5)y = \left\langle -1, 1\right\rangle + \cos^{2}{\left(5 \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(5)^2 + cos(x)^45, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡45(x)+cos⁡2(5)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos^{45}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(5 \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(cos⁡45(x)+cos⁡2(5)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos^{45}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(5 \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡45(x)+cos⁡2(5)=cos⁡45(x)+cos⁡2(5)\cos^{45}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(5 \right)} = \cos^{45}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(5 \right)}
- Sí
cos⁡45(x)+cos⁡2(5)=−cos⁡45(x)−cos⁡2(5)\cos^{45}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(5 \right)} = - \cos^{45}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(5 \right)}
- No
es decir, función
es
par
    © Sr Examen – Калькулятор