Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cos(3*x)+x^3

Gráfico de la función y = cos(3*x)+x^3

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                   3
f(x) = cos(3*x) + x
f(x)=x3+cos⁡(3x)f{\left(x \right)} = x^{3} + \cos{\left(3 x \right)} 
f = x^3 + cos(3*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-20002000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x3+cos⁡(3x)=0x^{3} + \cos{\left(3 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=0.996071449701453x_{1} = 0.996071449701453
x2=−0.485394316570415x_{2} = -0.485394316570415
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(3*x) + x^3.
03+cos⁡(0⋅3)0^{3} + \cos{\left(0 \cdot 3 \right)}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3x2−3sin⁡(3x)=03 x^{2} - 3 \sin{\left(3 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=0.8092133318451x_{2} = 0.8092133318451
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)

(0.8092133318451002, -0.22588537818481)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0.8092133318451x_{1} = 0.8092133318451
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]∪[0.8092133318451,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[0.8092133318451, \infty\right)
Crece en los intervalos
[0,0.8092133318451]\left[0, 0.8092133318451\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
3(2x−3cos⁡(3x))=03 \left(2 x - 3 \cos{\left(3 x \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1.2445902789361x_{1} = -1.2445902789361
x2=0.42730784687523x_{2} = 0.42730784687523
x3=−0.680576296170286x_{3} = -0.680576296170286

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−1.2445902789361,−0.680576296170286]∪[0.42730784687523,∞)\left[-1.2445902789361, -0.680576296170286\right] \cup \left[0.42730784687523, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−1.2445902789361]∪[−0.680576296170286,0.42730784687523]\left(-\infty, -1.2445902789361\right] \cup \left[-0.680576296170286, 0.42730784687523\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x3+cos⁡(3x))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(x^{3} + \cos{\left(3 x \right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x3+cos⁡(3x))=∞\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} + \cos{\left(3 x \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(3*x) + x^3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x3+cos⁡(3x)x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} + \cos{\left(3 x \right)}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(x3+cos⁡(3x)x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + \cos{\left(3 x \right)}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x3+cos⁡(3x)=−x3+cos⁡(3x)x^{3} + \cos{\left(3 x \right)} = - x^{3} + \cos{\left(3 x \right)}
- No
x3+cos⁡(3x)=x3−cos⁡(3x)x^{3} + \cos{\left(3 x \right)} = x^{3} - \cos{\left(3 x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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