Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sqrt(x-2x^2)

Gráfico de la función y = sqrt(x-2x^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          __________
         /        2 
f(x) = \/  x - 2*x
f(x)=−2x2+xf{\left(x \right)} = \sqrt{- 2 x^{2} + x} 
f = sqrt(-2*x^2 + x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.20.4
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−2x2+x=0\sqrt{- 2 x^{2} + x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=12x_{2} = \frac{1}{2}
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
x2=0.5x_{2} = 0.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(x - 2*x^2).
−2⋅02\sqrt{- 2 \cdot 0^{2}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
12−2x−2x2+x=0\frac{\frac{1}{2} - 2 x}{\sqrt{- 2 x^{2} + x}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=14x_{1} = \frac{1}{4}
Signos de extremos en los puntos:
        ___ 
      \/ 2  
(1/4, -----)
        4


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=14x_{1} = \frac{1}{4}
Decrece en los intervalos
(−∞,14]\left(-\infty, \frac{1}{4}\right]
Crece en los intervalos
[14,∞)\left[\frac{1}{4}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2+(4x−1)24x(1−2x)x(1−2x)=0- \frac{2 + \frac{\left(4 x - 1\right)^{2}}{4 x \left(1 - 2 x\right)}}{\sqrt{x \left(1 - 2 x\right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞−2x2+x=∞i\lim_{x \to -\infty} \sqrt{- 2 x^{2} + x} = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞−2x2+x=∞i\lim_{x \to \infty} \sqrt{- 2 x^{2} + x} = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(x - 2*x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−2x2+xx)=−2i\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{- 2 x^{2} + x}}{x}\right) = - \sqrt{2} i
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−2ixy = - \sqrt{2} i x
lim⁡x→∞(−2x2+xx)=2i\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{- 2 x^{2} + x}}{x}\right) = \sqrt{2} i
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=2ixy = \sqrt{2} i x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−2x2+x=−2x2−x\sqrt{- 2 x^{2} + x} = \sqrt{- 2 x^{2} - x}
- No
−2x2+x=−−2x2−x\sqrt{- 2 x^{2} + x} = - \sqrt{- 2 x^{2} - x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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