Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sqrt(cos(x))+1

Gráfico de la función y = sqrt(cos(x))+1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         ________    
f(x) = \/ cos(x)  + 1
f(x)=cos⁡(x)+1f{\left(x \right)} = \sqrt{\cos{\left(x \right)}} + 1 
f = sqrt(cos(x)) + 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10101.03.0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡(x)+1=0\sqrt{\cos{\left(x \right)}} + 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(cos(x)) + 1.
cos⁡(0)+1\sqrt{\cos{\left(0 \right)}} + 1
Resultado:
f(0)=2f{\left(0 \right)} = 2
Punto:
(0, 2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x)2cos⁡(x)=0- \frac{\sin{\left(x \right)}}{2 \sqrt{\cos{\left(x \right)}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Signos de extremos en los puntos:
(0, 2)

(pi, 1 + I)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x2=0x_{2} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Crece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−sin⁡2(x)cos⁡32(x)+2cos⁡(x)4=0- \frac{\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{\frac{3}{2}}{\left(x \right)}} + 2 \sqrt{\cos{\left(x \right)}}}{4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x)+1)=⟨1,2⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{\cos{\left(x \right)}} + 1\right) = \left\langle 1, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨1,2⟩y = \left\langle 1, 2\right\rangle
lim⁡x→∞(cos⁡(x)+1)=⟨1,2⟩\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{\cos{\left(x \right)}} + 1\right) = \left\langle 1, 2\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨1,2⟩y = \left\langle 1, 2\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(cos(x)) + 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x)+1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\cos{\left(x \right)}} + 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(cos⁡(x)+1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\cos{\left(x \right)}} + 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡(x)+1=cos⁡(x)+1\sqrt{\cos{\left(x \right)}} + 1 = \sqrt{\cos{\left(x \right)}} + 1
- Sí
cos⁡(x)+1=−cos⁡(x)−1\sqrt{\cos{\left(x \right)}} + 1 = - \sqrt{\cos{\left(x \right)}} - 1
- No
es decir, función
es
par
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