Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 1/sqrt(x)+3,14*sqrt(x)

Gráfico de la función y = 1/sqrt(x)+3,14*sqrt(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                     ___
         1     157*\/ x 
f(x) = ----- + ---------
         ___       50   
       \/ x
f(x)=157x50+1xf{\left(x \right)} = \frac{157 \sqrt{x}}{50} + \frac{1}{\sqrt{x}} 
f = 157*sqrt(x)/50 + 1/(sqrt(x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010015
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
157x50+1x=0\frac{157 \sqrt{x}}{50} + \frac{1}{\sqrt{x}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−50157x_{1} = - \frac{50}{157}
Solución numérica
x1=−0.318471337579618x_{1} = -0.318471337579618
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1/(sqrt(x)) + 157*sqrt(x)/50.
10+157050\frac{1}{\sqrt{0}} + \frac{157 \sqrt{0}}{50}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
157100x−12xx=0\frac{157}{100 \sqrt{x}} - \frac{1}{2 \sqrt{x} x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=50157x_{1} = \frac{50}{157}
Signos de extremos en los puntos:
        _____ 
  50  \/ 314  
(---, -------)
 157     5


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=50157x_{1} = \frac{50}{157}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[50157,∞)\left[\frac{50}{157}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,50157]\left(-\infty, \frac{50}{157}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−157+150x200x32=0\frac{-157 + \frac{150}{x}}{200 x^{\frac{3}{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=150157x_{1} = \frac{150}{157}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(−157+150x200x32)=−∞i\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{-157 + \frac{150}{x}}{200 x^{\frac{3}{2}}}\right) = - \infty i
lim⁡x→0+(−157+150x200x32)=∞\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{-157 + \frac{150}{x}}{200 x^{\frac{3}{2}}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,150157]\left(-\infty, \frac{150}{157}\right]
Convexa en los intervalos
[150157,∞)\left[\frac{150}{157}, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(157x50+1x)=∞i\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{157 \sqrt{x}}{50} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right) = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(157x50+1x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{157 \sqrt{x}}{50} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1/(sqrt(x)) + 157*sqrt(x)/50, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(157x50+1xx)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{157 \sqrt{x}}{50} + \frac{1}{\sqrt{x}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(157x50+1xx)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{157 \sqrt{x}}{50} + \frac{1}{\sqrt{x}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
157x50+1x=157−x50+1−x\frac{157 \sqrt{x}}{50} + \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{157 \sqrt{- x}}{50} + \frac{1}{\sqrt{- x}}
- No
157x50+1x=−157−x50−1−x\frac{157 \sqrt{x}}{50} + \frac{1}{\sqrt{x}} = - \frac{157 \sqrt{- x}}{50} - \frac{1}{\sqrt{- x}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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