Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x*ln(absolute(x))
-
x*e^((-x^2)/x)
-
-x*e^x
-
x+exp(x)+exp(-x)
- Derivada de:
-
(6x+8)/(x^2+1)
-
Expresiones idénticas
- (6x+ ocho)/(x^ dos + uno)
- (6x más 8) dividir por (x al cuadrado más 1)
- (6x más ocho) dividir por (x en el grado dos más uno)
- (6x+8)/(x2+1)
- 6x+8/x2+1
- (6x+8)/(x²+1)
- (6x+8)/(x en el grado 2+1)
- 6x+8/x^2+1
- (6x+8) dividir por (x^2+1)
-
Expresiones semejantes
- (6x-8)/(x^2+1)
- (6x+8)/(x^2-1)
Gráfico de la función y = (6x+8)/(x^2+1)
Solución
Ha introducido
[src]
6*x + 8
f(x) = -------
2
x + 1
$$f{\left(x \right)} = \frac{6 x + 8}{x^{2} + 1}$$
f = (6*x + 8)/(x^2 + 1)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{6 x + 8}{x^{2} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{4}{3}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1.33333333333333$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{6 x + 8}{x^{2} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{4}{3}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1.33333333333333$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x \left(6 x + 8\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{6}{x^{2} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = \frac{1}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -3$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[-3, \frac{1}{3}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -3\right] \cup \left[\frac{1}{3}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x \left(6 x + 8\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{6}{x^{2} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = \frac{1}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
(-3, -1)
(1/3, 9)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -3$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[-3, \frac{1}{3}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -3\right] \cup \left[\frac{1}{3}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{4 \left(- 6 x + \left(3 x + 4\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 1} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{4}{3} - \frac{\sqrt[3]{100 + 75 i}}{3} - \frac{25}{3 \sqrt[3]{100 + 75 i}}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{10 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{3}{4} \right)}}{3} \right)}}{3} - \frac{4}{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{10 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{3}{4} \right)}}{3} \right)}}{3} - \frac{4}{3}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{4 \left(- 6 x + \left(3 x + 4\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 1} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{4}{3} - \frac{\sqrt[3]{100 + 75 i}}{3} - \frac{25}{3 \sqrt[3]{100 + 75 i}}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{10 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{3}{4} \right)}}{3} \right)}}{3} - \frac{4}{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{10 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{3}{4} \right)}}{3} \right)}}{3} - \frac{4}{3}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{6 x + 8}{x^{2} + 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + 8}{x^{2} + 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{6 x + 8}{x^{2} + 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + 8}{x^{2} + 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (6*x + 8)/(x^2 + 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{6 x + 8}{x \left(x^{2} + 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + 8}{x \left(x^{2} + 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{6 x + 8}{x \left(x^{2} + 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x + 8}{x \left(x^{2} + 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{6 x + 8}{x^{2} + 1} = \frac{8 - 6 x}{x^{2} + 1}$$
- No
$$\frac{6 x + 8}{x^{2} + 1} = - \frac{8 - 6 x}{x^{2} + 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{6 x + 8}{x^{2} + 1} = \frac{8 - 6 x}{x^{2} + 1}$$
- No
$$\frac{6 x + 8}{x^{2} + 1} = - \frac{8 - 6 x}{x^{2} + 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar