Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$- \frac{3 x e^{x} \operatorname{acot}^{2}{\left(e^{x} - 2 \right)}}{\left(e^{x} - 2\right)^{2} + 1} + \operatorname{acot}^{3}{\left(e^{x} - 2 \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 81.2066170635637$$
$$x_{2} = 11202.9152038375$$
$$x_{3} = 62.9464469449249$$
$$x_{4} = 21.3161799499045$$
$$x_{5} = 57.2204276859673$$
$$x_{6} = 15.9748702207887$$
$$x_{7} = 101.200343972977$$
$$x_{8} = 435756.71327721$$
$$x_{9} = 89.2037524917503$$
$$x_{10} = 1.3411453739227 \cdot 10^{24}$$
$$x_{11} = 9.4911826462222 \cdot 10^{24}$$
$$x_{12} = 39.2433367216319$$
$$x_{13} = 17.3611400068309$$
$$x_{14} = 5577343301.70551$$
$$x_{15} = 11.4910367368311$$
$$x_{16} = 1798087101800.44$$
$$x_{17} = 6.16926872004443 \cdot 10^{25}$$
$$x_{18} = 2814141.47938232$$
$$x_{19} = 122716981.807067$$
$$x_{20} = 107.198938272575$$
$$x_{21} = 105.199388237106$$
$$x_{22} = 87.2044166988034$$
$$x_{23} = 35.2520875952893$$
$$x_{24} = 3.71201054170155 \cdot 10^{21}$$
$$x_{25} = 41.2396790452484$$
$$x_{26} = 95.2019355481259$$
$$x_{27} = 75.2091907575095$$
$$x_{28} = 823839054.567737$$
$$x_{29} = 5.22510526196966 \cdot 10^{20}$$
$$x_{30} = 71.211163724783$$
$$x_{31} = 604061239657243$$
$$x_{32} = 99.2008521009502$$
$$x_{33} = 2.08773765801678 \cdot 10^{17}$$
$$x_{34} = 2.96717930780489 \cdot 10^{16}$$
$$x_{35} = 53.2240532231067$$
$$x_{36} = 47.230766485132$$
$$x_{37} = 73.2101485281618$$
$$x_{38} = 85.2051138135339$$
$$x_{39} = 37.2474434418124$$
$$x_{40} = 67.213388389416$$
$$x_{41} = 19.2608907157928$$
$$x_{42} = 2.64180225673672 \cdot 10^{22}$$
$$x_{43} = 29.2705640251349$$
$$x_{44} = 43.2364004365405$$
$$x_{45} = 91.2031189150526$$
$$x_{46} = 13.4443140003808$$
$$x_{47} = 12.6168443384873$$
$$x_{48} = 12452388552173.1$$
$$x_{49} = 7.36685176936684 \cdot 10^{19}$$
$$x_{50} = 55.2221688971376$$
$$x_{51} = 25.2888979350529$$
$$x_{52} = 18466691.6785173$$
$$x_{53} = 65.2146106683664$$
$$x_{54} = 49.2283282355158$$
$$x_{55} = 27.2789138899985$$
$$x_{56} = 1.87801178692372 \cdot 10^{23}$$
$$x_{57} = 260807590866.014$$
$$x_{58} = 77.2082856715642$$
$$x_{59} = 103.199856427053$$
$$x_{60} = 1.47231292416477 \cdot 10^{18}$$
$$x_{61} = 31.2634758553134$$
$$x_{62} = 4.22771667798254 \cdot 10^{15}$$
$$x_{63} = 86578155840378.2$$
$$x_{64} = 61.2173139366234$$
$$x_{65} = 15.3962525794656$$
$$x_{66} = 33.2573824925357$$
$$x_{67} = 63.2159162429921$$
$$x_{68} = 83.2058463448682$$
$$x_{69} = 59.2188138657047$$
$$x_{70} = 69.2122416755635$$
$$x_{71} = 23.3010526040499$$
$$x_{72} = 93.2025138968605$$
$$x_{73} = 51.2260990903392$$
$$x_{74} = 19.3355318037991$$
$$x_{75} = 38025247357.1215$$
$$x_{76} = 79.2074290372987$$
$$x_{77} = 1892.33413331107$$
$$x_{78} = 335.860928704143$$
$$x_{79} = 97.2013821428693$$
$$x_{80} = 68897.4625531287$$
$$x_{81} = 1.04046593101803 \cdot 10^{19}$$
$$x_{82} = 45.2334447667465$$
Signos de extremos en los puntos:
(81.2066170635637, 1.27889345462002e-104)
(11202.915203837545, 9.04832682085008e-14593)
(62.9464469449249, 6.12473820909545e-81)
(21.316179949904463, 3.59924489060771e-27)
(57.22042768596732, 1.60695276440122e-73)
(15.974870220788716, 2.45495582266907e-20)
(101.200343972977, 1.42209669175625e-130)
(435756.7132772101, 2.69872304226625e-567735)
(89.2037524917503, 5.34922304997794e-115)
(1.3411453739227018e+24, 6.14165875224495e-1747356105974108123557918)
(9.491182646222198e+24, 3.82505952155843e-12365904749970612734908931)
(39.24333672163195, 2.91254173839687e-50)
(17.361140006830873, 4.16904325465347e-22)
(5577343301.705511, 8.20590944724203e-7266628250)
(11.491036736831134, 1.22716881159532e-14)
(1798087101800.4448, 1.67253912009196e-2342697918868)
(6.169268720044429e+25, 5.3063980011521e-80378380874808982776908185)
(2814141.479382323, 1.2646592870528e-3666492)
(122716981.80706692, 9.66077447697893e-159885917)
(107.19893827257506, 2.30392539085296e-138)
(105.19938823710596, 9.10902263734796e-136)
(87.2044166988034, 2.10546279646155e-112)
(35.2520875952893, 4.14785423588043e-45)
(3.712010541701547e+21, 3.29757987800178e-4836317085083047423593)
(41.23967904524842, 7.67043761720469e-53)
(95.20193554812587, 8.74218419961682e-123)
(75.2091907575095, 7.71722766586551e-97)
(823839054.5677369, 6.17109310378871e-1073366258)
(5.225105261969665e+20, 7.60160218769333e-680770314791121160036)
(71.21116372478305, 1.1822292937602e-91)
(604061239657243, 4.21844592677326e-787021389344321)
(99.20085210095021, 5.61522806447129e-128)
(2.0877376580167843e+17, 1.19880942744089e-272007883361492290)
(2.967179307804888e+16, 9.84801384947669e-38658888005915181)
(53.22405322310665, 2.4064125660709e-68)
(47.230766485132044, 1.3741723694926e-60)
(73.21014852816181, 3.02190434178697e-94)
(85.20511381353388, 8.2819648590489e-110)
(37.24744344181235, 1.10158753754464e-47)
(67.21338838941597, 1.80403403687617e-86)
(19.260890715792833, 1.5487478451344e-24)
(2.6418022567367213e+22, 1.35936404745447e-34419604271409474809317)
(29.270564025134945, 2.13942849643934e-37)
(43.23640043654049, 2.01307126458314e-55)
(91.20311891505256, 1.35823794398429e-117)
(13.444314000380833, 4.09419264810298e-17)
(12.61684433848732, 4.59919431882857e-16)
(12452388552173.055, 1.42060869768117e-16224010904159)
(7.366851769366837e+19, 1.15496478381979e-95981492173056732822)
(55.222168897137564, 6.22391664503449e-71)
(25.2888979350529, 2.84736684547902e-32)
(18466691.67851731, 2.4067046377274e-24059940)
(65.2146106683664, 7.03571514176132e-84)
(49.22832823551577, 3.57635951232471e-63)
(27.278913889998492, 7.84479773799957e-35)
(1.8780117869237227e+23, 3.09365333876181e-244683046803071494842357)
(260807590866.01425, 4.40069154378558e-339801892644)
(77.20828567156421, 1.96909485036193e-99)
(103.19985642705348, 3.59993413291946e-133)
(1.4723129241647734e+18, 7.10817294446069e-1918252135798805837)
(31.263475855313434, 5.78591585983824e-40)
(4227716677982540.5, 3.28883637222096e-5508222072894478)
(86578155840378.19, 6.50974195774999e-112801246004495)
(61.217313936623434, 1.06622620242944e-78)
(15.396252579465552, 1.3424340269228e-19)
(33.257382492535655, 1.55379946691675e-42)
(63.21591624299207, 2.74066313797393e-81)
(83.20584634486819, 3.25562259138391e-107)
(59.218813865704675, 4.1423562299988e-76)
(69.21224167556348, 4.62060662036689e-89)
(23.301052604049925, 1.02051603989212e-29)
(93.20251389686047, 3.44679275755927e-120)
(51.22609909033916, 9.28655835627647e-66)
(19.33553180379907, 1.24283029406746e-24)
(38025247357.12148, 9.28669938617438e-49542465291)
(79.2074290372987, 5.02016332931213e-102)
(1892.3341333110686, 6.1119779755313e-2463)
(335.8609287041425, 8.67991385941079e-436)
(97.20138214286932, 2.21615813431594e-125)
(68897.46255312875, 2.98394867060924e-89761)
(1.040465931018027e+19, 3.11855043364218e-13556058373483757828)
(45.2334447667465, 5.26687830530526e-58)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
La función no tiene puntos máximos
Decrece en todo el eje numérico