Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ acot(x)+(1/2)*x

Gráfico de la función y = acot(x)+(1/2)*x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                 x
f(x) = acot(x) + -
                 2
f(x)=x2+acot⁡(x)f{\left(x \right)} = \frac{x}{2} + \operatorname{acot}{\left(x \right)} 
f = x/2 + acot(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x2+acot⁡(x)=0\frac{x}{2} + \operatorname{acot}{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en acot(x) + x/2.
02+acot⁡(0)\frac{0}{2} + \operatorname{acot}{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=π2f{\left(0 \right)} = \frac{\pi}{2}
Punto:
(0, pi/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
12−1x2+1=0\frac{1}{2} - \frac{1}{x^{2} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Signos de extremos en los puntos:
       1   pi 
(-1, - - - --)
       2   4  

    1   pi 
(1, - + --)
    2   4


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=1x_{1} = 1
Puntos máximos de la función:
x1=−1x_{1} = -1
Decrece en los intervalos
(−∞,−1]∪[1,∞)\left(-\infty, -1\right] \cup \left[1, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−1,1]\left[-1, 1\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2x(x2+1)2=0\frac{2 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x2+acot⁡(x))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{2} + \operatorname{acot}{\left(x \right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x2+acot⁡(x))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{2} + \operatorname{acot}{\left(x \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función acot(x) + x/2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x2+acot⁡(x)x)=12\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x}{2} + \operatorname{acot}{\left(x \right)}}{x}\right) = \frac{1}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=x2y = \frac{x}{2}
lim⁡x→∞(x2+acot⁡(x)x)=12\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x}{2} + \operatorname{acot}{\left(x \right)}}{x}\right) = \frac{1}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=x2y = \frac{x}{2}
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x2+acot⁡(x)=−x2−acot⁡(x)\frac{x}{2} + \operatorname{acot}{\left(x \right)} = - \frac{x}{2} - \operatorname{acot}{\left(x \right)}
- No
x2+acot⁡(x)=x2+acot⁡(x)\frac{x}{2} + \operatorname{acot}{\left(x \right)} = \frac{x}{2} + \operatorname{acot}{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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