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y=sqrt((3x+2)/(2x-1)+2)
Trazado el gráfico de la función/ y=sqrt((3x+2)/(2x-1)+2)

Gráfico de la función y = y=sqrt((3x+2)/(2x-1)+2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           _____________
          / 3*x + 2     
f(x) =   /  ------- + 2 
       \/   2*x - 1
f(x)=2+3x+22x−1f{\left(x \right)} = \sqrt{2 + \frac{3 x + 2}{2 x - 1}} 
f = sqrt(2 + (3*x + 2)/(2*x - 1))
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0.5x_{1} = 0.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2+3x+22x−1=0\sqrt{2 + \frac{3 x + 2}{2 x - 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt((3*x + 2)/(2*x - 1) + 2).
0⋅3+2−1+0⋅2+2\sqrt{\frac{0 \cdot 3 + 2}{-1 + 0 \cdot 2} + 2}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
32(2x−1)−3x+2(2x−1)22+3x+22x−1=0\frac{\frac{3}{2 \left(2 x - 1\right)} - \frac{3 x + 2}{\left(2 x - 1\right)^{2}}}{\sqrt{2 + \frac{3 x + 2}{2 x - 1}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(2+3−2(3x+2)2x−14(2+3x+22x−1))(3−2(3x+2)2x−1)2+3x+22x−1(2x−1)2=0- \frac{\left(2 + \frac{3 - \frac{2 \left(3 x + 2\right)}{2 x - 1}}{4 \left(2 + \frac{3 x + 2}{2 x - 1}\right)}\right) \left(3 - \frac{2 \left(3 x + 2\right)}{2 x - 1}\right)}{\sqrt{2 + \frac{3 x + 2}{2 x - 1}} \left(2 x - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=18x_{1} = \frac{1}{8}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0.5x_{1} = 0.5

lim⁡x→0.5−(−(2+3−2(3x+2)2x−14(2+3x+22x−1))(3−2(3x+2)2x−1)2+3x+22x−1(2x−1)2)=∞i\lim_{x \to 0.5^-}\left(- \frac{\left(2 + \frac{3 - \frac{2 \left(3 x + 2\right)}{2 x - 1}}{4 \left(2 + \frac{3 x + 2}{2 x - 1}\right)}\right) \left(3 - \frac{2 \left(3 x + 2\right)}{2 x - 1}\right)}{\sqrt{2 + \frac{3 x + 2}{2 x - 1}} \left(2 x - 1\right)^{2}}\right) = \infty i
lim⁡x→0.5+(−(2+3−2(3x+2)2x−14(2+3x+22x−1))(3−2(3x+2)2x−1)2+3x+22x−1(2x−1)2)=∞\lim_{x \to 0.5^+}\left(- \frac{\left(2 + \frac{3 - \frac{2 \left(3 x + 2\right)}{2 x - 1}}{4 \left(2 + \frac{3 x + 2}{2 x - 1}\right)}\right) \left(3 - \frac{2 \left(3 x + 2\right)}{2 x - 1}\right)}{\sqrt{2 + \frac{3 x + 2}{2 x - 1}} \left(2 x - 1\right)^{2}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=0.5x_{1} = 0.5
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0.5x_{1} = 0.5
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞2+3x+22x−1=142\lim_{x \to -\infty} \sqrt{2 + \frac{3 x + 2}{2 x - 1}} = \frac{\sqrt{14}}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=142y = \frac{\sqrt{14}}{2}
lim⁡x→∞2+3x+22x−1=142\lim_{x \to \infty} \sqrt{2 + \frac{3 x + 2}{2 x - 1}} = \frac{\sqrt{14}}{2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=142y = \frac{\sqrt{14}}{2}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt((3*x + 2)/(2*x - 1) + 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(2+3x+22x−1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{2 + \frac{3 x + 2}{2 x - 1}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(2+3x+22x−1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{2 + \frac{3 x + 2}{2 x - 1}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
2+3x+22x−1=2−3x−2x−1+2\sqrt{2 + \frac{3 x + 2}{2 x - 1}} = \sqrt{\frac{2 - 3 x}{- 2 x - 1} + 2}
- No
2+3x+22x−1=−2−3x−2x−1+2\sqrt{2 + \frac{3 x + 2}{2 x - 1}} = - \sqrt{\frac{2 - 3 x}{- 2 x - 1} + 2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = y=sqrt((3x+2)/(2x-1)+2)
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