Sr Examen

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(sin(3*x))^(log(2*x))
Trazado el gráfico de la función/ (sin(3*x))^(log(2*x))

Gráfico de la función y = (sin(3*x))^(log(2*x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          log(2*x)     
f(x) = sin        (3*x)
f(x)=sin⁡log⁡(2x)(3x)f{\left(x \right)} = \sin^{\log{\left(2 x \right)}}{\left(3 x \right)} 
f = sin(3*x)^log(2*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100100
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
sin⁡log⁡(2x)(3x)=0\sin^{\log{\left(2 x \right)}}{\left(3 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π3x_{1} = \frac{\pi}{3}
Solución numérica
x1=26.1801349545924x_{1} = 26.1801349545924
x2=52.3591072967628x_{2} = 52.3591072967628
x3=41.8885863262064x_{3} = 41.8885863262064
x4=72.2565619506161x_{4} = 72.2565619506161
x5=28.2742596272157x_{5} = 28.2742596272157
x6=4.18879037709386x_{6} = 4.18879037709386
x7=50.2653751211829x_{7} = 50.2653751211829
x8=30.3683446211993x_{8} = 30.3683446211993
x9=43.9824205719828x_{9} = 43.9824205719828
x10=96.3409333547295x_{10} = 96.3409333547295
x11=21.991184542681x_{11} = 21.991184542681
x12=68.0671102149601x_{12} = 68.0671102149601
x13=6.28318413668094x_{13} = 6.28318413668094
x14=2.09439510239411x_{14} = 2.09439510239411
x15=87.9651123316488x_{15} = 87.9651123316488
x16=74.3499725465632x_{16} = 74.3499725465632
x17=94.2478095460037x_{17} = 94.2478095460037
x18=90.0581250314973x_{18} = 90.0581250314973
x19=8.37756573264964x_{19} = 8.37756573264964
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sin(3*x)^log(2*x).
sin⁡log⁡(0⋅2)(0⋅3)\sin^{\log{\left(0 \cdot 2 \right)}}{\left(0 \cdot 3 \right)}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(3log⁡(2x)cos⁡(3x)sin⁡(3x)+log⁡(sin⁡(3x))x)sin⁡log⁡(2x)(3x)=0\left(\frac{3 \log{\left(2 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}} + \frac{\log{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)}}{x}\right) \sin^{\log{\left(2 x \right)}}{\left(3 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=43.9823196661559x_{1} = 43.9823196661559
x2=−97.9129710368819x_{2} = -97.9129710368819
x3=28.2743267866148x_{3} = 28.2743267866148
x4=34.0339204138894x_{4} = 34.0339204138894
x5=−5.75958653158129x_{5} = -5.75958653158129
x6=−9.94837673636768x_{6} = -9.94837673636768
x7=76.445245029335x_{7} = 76.445245029335
x8=−12.0427718387609x_{8} = -12.0427718387609
x9=−53.9306738866248x_{9} = -53.9306738866248
x10=−3.66519142918809x_{10} = -3.66519142918809
x11=80.1106126665397x_{11} = 80.1106126665397
x12=36.1283155162826x_{12} = 36.1283155162826
x13=−93.7241808320955x_{13} = -93.7241808320955
x14=−51.8362787842316x_{14} = -51.8362787842316
x15=72.2566127830002x_{15} = 72.2566127830002
x16=78.0162175641465x_{16} = 78.0162175641465
x17=4.18879020478639x_{17} = 4.18879020478639
x18=82.2050077689329x_{18} = 82.2050077689329
x19=87.9647550343645x_{19} = 87.9647550343645
x20=38.2227106186758x_{20} = 38.2227106186758
x21=−7.85398163397448x_{21} = -7.85398163397448
x22=−100.007366139275x_{22} = -100.007366139275
x23=−95.8185759344887x_{23} = -95.8185759344887
x24=−56.025068989018x_{24} = -56.025068989018
x25=−49.7418836818384x_{25} = -49.7418836818384
Signos de extremos en los puntos:
(43.98231966615585, 2.13519651899927e-19)

                        5.27722621403588 + pi*I 
(-97.91297103688188, 1                       )

(28.274326786614793, 1.40758535654495e-19)

(34.033920413889426, 1)

                        2.44401286997966 + pi*I 
(-5.759586531581288, 1                       )

                       2.99055657634773 + pi*I 
(-9.94837673636768, 1                       )

(76.44524502933504, 3.29867964564761e-17)

                         3.18161181311044 + pi*I 
(-12.042771838760874, 1                       )

                        4.68084658541093 + pi*I 
(-53.93067388662478, 1                       )

                         1.9920277462366 + pi*I 
(-3.6651914291880923, 1                      )

(80.11061266653972, 1)

(36.12831551628262, 1)

                       5.23350340302205 + pi*I 
(-93.7241808320955, 1                       )

                        4.64123744731588 + pi*I 
(-51.83627878423159, 1                       )

(72.25661278300021, 6.38780396787081e-22)

(78.01621756414653, 1)

(4.188790204786391, 2.23443923223586e-32)

(82.20500776893293, 1)

(87.96475503436453, 7.1123833809748e-18)

(38.22271061867582, 1)

                        2.7541677982835 + pi*I 
(-7.853981633974483, 1                      )

                         5.29839102522792 + pi*I 
(-100.00736613927508, 1                       )

                        5.25560375002271 + pi*I 
(-95.81857593448869, 1                       )

                        4.7189464316432 + pi*I 
(-56.02506898901798, 1                      )

                         4.59999448878183 + pi*I 
(-49.741883681838395, 1                       )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=4.18879020478639x_{1} = 4.18879020478639
Puntos máximos de la función:
x1=−97.9129710368819x_{1} = -97.9129710368819
x1=34.0339204138894x_{1} = 34.0339204138894
x1=−5.75958653158129x_{1} = -5.75958653158129
x1=−9.94837673636768x_{1} = -9.94837673636768
x1=−12.0427718387609x_{1} = -12.0427718387609
x1=−53.9306738866248x_{1} = -53.9306738866248
x1=−3.66519142918809x_{1} = -3.66519142918809
x1=80.1106126665397x_{1} = 80.1106126665397
x1=36.1283155162826x_{1} = 36.1283155162826
x1=−93.7241808320955x_{1} = -93.7241808320955
x1=−51.8362787842316x_{1} = -51.8362787842316
x1=78.0162175641465x_{1} = 78.0162175641465
x1=82.2050077689329x_{1} = 82.2050077689329
x1=38.2227106186758x_{1} = 38.2227106186758
x1=−7.85398163397448x_{1} = -7.85398163397448
x1=−100.007366139275x_{1} = -100.007366139275
x1=−95.8185759344887x_{1} = -95.8185759344887
x1=−56.025068989018x_{1} = -56.025068989018
x1=−49.7418836818384x_{1} = -49.7418836818384
Decrece en los intervalos
(−∞,−100.007366139275]∪[4.18879020478639,∞)\left(-\infty, -100.007366139275\right] \cup \left[4.18879020478639, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,4.18879020478639]∪[82.2050077689329,∞)\left(-\infty, 4.18879020478639\right] \cup \left[82.2050077689329, \infty\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(3*x)^log(2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(sin⁡log⁡(2x)(3x)x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin^{\log{\left(2 x \right)}}{\left(3 x \right)}}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(sin⁡log⁡(2x)(3x)x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin^{\log{\left(2 x \right)}}{\left(3 x \right)}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
sin⁡log⁡(2x)(3x)=(−sin⁡(3x))log⁡(−2x)\sin^{\log{\left(2 x \right)}}{\left(3 x \right)} = \left(- \sin{\left(3 x \right)}\right)^{\log{\left(- 2 x \right)}}
- No
sin⁡log⁡(2x)(3x)=−(−sin⁡(3x))log⁡(−2x)\sin^{\log{\left(2 x \right)}}{\left(3 x \right)} = - \left(- \sin{\left(3 x \right)}\right)^{\log{\left(- 2 x \right)}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (sin(3*x))^(log(2*x))
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