Sr Examen

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Gráfico de la función y = (-1+(-1+x)*exp(3*x))*exp(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
       /               3*x\  x
f(x) = \-1 + (-1 + x)*e   /*e 
$$f{\left(x \right)} = \left(\left(x - 1\right) e^{3 x} - 1\right) e^{x}$$
f = ((x - 1)*exp(3*x) - 1)*exp(x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(\left(x - 1\right) e^{3 x} - 1\right) e^{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = \frac{W\left(\frac{3}{e^{3}}\right)}{3} + 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = -112.872003083$$
$$x_{2} = -80.8720030830002$$
$$x_{3} = -86.8720030830002$$
$$x_{4} = -82.8720030830002$$
$$x_{5} = -28.8720030814814$$
$$x_{6} = -46.8720030830002$$
$$x_{7} = -102.872003083$$
$$x_{8} = -106.872003083$$
$$x_{9} = -94.8720030830002$$
$$x_{10} = -48.8720030830002$$
$$x_{11} = 1.04367324005511$$
$$x_{12} = -88.8720030830002$$
$$x_{13} = -40.8720030830002$$
$$x_{14} = -52.8720030830002$$
$$x_{15} = -78.8720030830002$$
$$x_{16} = -76.8720030830002$$
$$x_{17} = -64.8720030830002$$
$$x_{18} = -90.8720030830002$$
$$x_{19} = -30.8720030829956$$
$$x_{20} = -108.872003083$$
$$x_{21} = -60.8720030830002$$
$$x_{22} = -32.8720030830002$$
$$x_{23} = -56.8720030830002$$
$$x_{24} = -74.8720030830002$$
$$x_{25} = -70.8720030830002$$
$$x_{26} = -114.872003083$$
$$x_{27} = -38.8720030830002$$
$$x_{28} = -58.8720030830002$$
$$x_{29} = -118.872003083$$
$$x_{30} = -66.8720030830002$$
$$x_{31} = -42.8720030830002$$
$$x_{32} = -98.8720030830002$$
$$x_{33} = -116.872003083$$
$$x_{34} = -96.8720030830002$$
$$x_{35} = -100.872003083$$
$$x_{36} = -50.8720030830002$$
$$x_{37} = -68.8720030830002$$
$$x_{38} = -54.8720030830002$$
$$x_{39} = -34.8720030830002$$
$$x_{40} = -72.8720030830002$$
$$x_{41} = -36.8720030830002$$
$$x_{42} = -44.8720030830002$$
$$x_{43} = -110.872003083$$
$$x_{44} = -92.8720030830002$$
$$x_{45} = -62.8720030830002$$
$$x_{46} = -84.8720030830002$$
$$x_{47} = -120.872003083$$
$$x_{48} = -104.872003083$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (-1 + (-1 + x)*exp(3*x))*exp(x).
$$\left(-1 - e^{0 \cdot 3}\right) e^{0}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = -2$$
Punto:
(0, -2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(\left(x - 1\right) e^{3 x} - 1\right) e^{x} + \left(3 \left(x - 1\right) e^{3 x} + e^{3 x}\right) e^{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{W\left(\frac{3}{4 e^{\frac{9}{4}}}\right)}{3} + \frac{3}{4}$$
Signos de extremos en los puntos:
                                                                 /   -9/4\ 
                                                                 |3*e    | 
      /   -9/4\  /     /       /   -9/4\\       /   -9/4\\      W|-------| 
      |3*e    |  |     |       |3*e    ||  9    |3*e    ||  3    \   4   / 
     W|-------|  |     |      W|-------||  - + W|-------||  - + ---------- 
 3    \   4   /  |     |  1    \   4   /|  4    \   4   /|  4       3      
(- + ----------, |-1 + |- - + ----------|*e              |*e              )
 4       3       \     \  4       3     /                /                 


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{W\left(\frac{3}{4 e^{\frac{9}{4}}}\right)}{3} + \frac{3}{4}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{W\left(\frac{3}{4 e^{\frac{9}{4}}}\right)}{3} + \frac{3}{4}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{W\left(\frac{3}{4 e^{\frac{9}{4}}}\right)}{3} + \frac{3}{4}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\left(\left(x - 1\right) e^{3 x} + 2 \left(3 x - 2\right) e^{3 x} + 3 \left(3 x - 1\right) e^{3 x} - 1\right) e^{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{W\left(\frac{3}{16 e^{\frac{3}{2}}}\right)}{3} + \frac{1}{2}$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{W\left(\frac{3}{16 e^{\frac{3}{2}}}\right)}{3} + \frac{1}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{W\left(\frac{3}{16 e^{\frac{3}{2}}}\right)}{3} + \frac{1}{2}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\left(x - 1\right) e^{3 x} - 1\right) e^{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(\left(x - 1\right) e^{3 x} - 1\right) e^{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-1 + (-1 + x)*exp(3*x))*exp(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\left(x - 1\right) e^{3 x} - 1\right) e^{x}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\left(x - 1\right) e^{3 x} - 1\right) e^{x}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(\left(x - 1\right) e^{3 x} - 1\right) e^{x} = \left(\left(- x - 1\right) e^{- 3 x} - 1\right) e^{- x}$$
- No
$$\left(\left(x - 1\right) e^{3 x} - 1\right) e^{x} = - \left(\left(- x - 1\right) e^{- 3 x} - 1\right) e^{- x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar