Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (-1+(-1+x)*exp(3*x))*exp(x)

Gráfico de la función y = (-1+(-1+x)*exp(3*x))*exp(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       /               3*x\  x
f(x) = \-1 + (-1 + x)*e   /*e
f(x)=((x−1)e3x−1)exf{\left(x \right)} = \left(\left(x - 1\right) e^{3 x} - 1\right) e^{x} 
f = ((x - 1)*exp(3*x) - 1)*exp(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-25000000000000000002500000000000000000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
((x−1)e3x−1)ex=0\left(\left(x - 1\right) e^{3 x} - 1\right) e^{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=W(3e3)3+1x_{1} = \frac{W\left(\frac{3}{e^{3}}\right)}{3} + 1
Solución numérica
x1=−112.872003083x_{1} = -112.872003083
x2=−80.8720030830002x_{2} = -80.8720030830002
x3=−86.8720030830002x_{3} = -86.8720030830002
x4=−82.8720030830002x_{4} = -82.8720030830002
x5=−28.8720030814814x_{5} = -28.8720030814814
x6=−46.8720030830002x_{6} = -46.8720030830002
x7=−102.872003083x_{7} = -102.872003083
x8=−106.872003083x_{8} = -106.872003083
x9=−94.8720030830002x_{9} = -94.8720030830002
x10=−48.8720030830002x_{10} = -48.8720030830002
x11=1.04367324005511x_{11} = 1.04367324005511
x12=−88.8720030830002x_{12} = -88.8720030830002
x13=−40.8720030830002x_{13} = -40.8720030830002
x14=−52.8720030830002x_{14} = -52.8720030830002
x15=−78.8720030830002x_{15} = -78.8720030830002
x16=−76.8720030830002x_{16} = -76.8720030830002
x17=−64.8720030830002x_{17} = -64.8720030830002
x18=−90.8720030830002x_{18} = -90.8720030830002
x19=−30.8720030829956x_{19} = -30.8720030829956
x20=−108.872003083x_{20} = -108.872003083
x21=−60.8720030830002x_{21} = -60.8720030830002
x22=−32.8720030830002x_{22} = -32.8720030830002
x23=−56.8720030830002x_{23} = -56.8720030830002
x24=−74.8720030830002x_{24} = -74.8720030830002
x25=−70.8720030830002x_{25} = -70.8720030830002
x26=−114.872003083x_{26} = -114.872003083
x27=−38.8720030830002x_{27} = -38.8720030830002
x28=−58.8720030830002x_{28} = -58.8720030830002
x29=−118.872003083x_{29} = -118.872003083
x30=−66.8720030830002x_{30} = -66.8720030830002
x31=−42.8720030830002x_{31} = -42.8720030830002
x32=−98.8720030830002x_{32} = -98.8720030830002
x33=−116.872003083x_{33} = -116.872003083
x34=−96.8720030830002x_{34} = -96.8720030830002
x35=−100.872003083x_{35} = -100.872003083
x36=−50.8720030830002x_{36} = -50.8720030830002
x37=−68.8720030830002x_{37} = -68.8720030830002
x38=−54.8720030830002x_{38} = -54.8720030830002
x39=−34.8720030830002x_{39} = -34.8720030830002
x40=−72.8720030830002x_{40} = -72.8720030830002
x41=−36.8720030830002x_{41} = -36.8720030830002
x42=−44.8720030830002x_{42} = -44.8720030830002
x43=−110.872003083x_{43} = -110.872003083
x44=−92.8720030830002x_{44} = -92.8720030830002
x45=−62.8720030830002x_{45} = -62.8720030830002
x46=−84.8720030830002x_{46} = -84.8720030830002
x47=−120.872003083x_{47} = -120.872003083
x48=−104.872003083x_{48} = -104.872003083
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (-1 + (-1 + x)*exp(3*x))*exp(x).
(−1−e0⋅3)e0\left(-1 - e^{0 \cdot 3}\right) e^{0}
Resultado:
f(0)=−2f{\left(0 \right)} = -2
Punto:
(0, -2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
((x−1)e3x−1)ex+(3(x−1)e3x+e3x)ex=0\left(\left(x - 1\right) e^{3 x} - 1\right) e^{x} + \left(3 \left(x - 1\right) e^{3 x} + e^{3 x}\right) e^{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=W(34e94)3+34x_{1} = \frac{W\left(\frac{3}{4 e^{\frac{9}{4}}}\right)}{3} + \frac{3}{4}
Signos de extremos en los puntos:
                                                                 /   -9/4\ 
                                                                 |3*e    | 
      /   -9/4\  /     /       /   -9/4\\       /   -9/4\\      W|-------| 
      |3*e    |  |     |       |3*e    ||  9    |3*e    ||  3    \   4   / 
     W|-------|  |     |      W|-------||  - + W|-------||  - + ---------- 
 3    \   4   /  |     |  1    \   4   /|  4    \   4   /|  4       3      
(- + ----------, |-1 + |- - + ----------|*e              |*e              )
 4       3       \     \  4       3     /                /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=W(34e94)3+34x_{1} = \frac{W\left(\frac{3}{4 e^{\frac{9}{4}}}\right)}{3} + \frac{3}{4}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[W(34e94)3+34,∞)\left[\frac{W\left(\frac{3}{4 e^{\frac{9}{4}}}\right)}{3} + \frac{3}{4}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,W(34e94)3+34]\left(-\infty, \frac{W\left(\frac{3}{4 e^{\frac{9}{4}}}\right)}{3} + \frac{3}{4}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
((x−1)e3x+2(3x−2)e3x+3(3x−1)e3x−1)ex=0\left(\left(x - 1\right) e^{3 x} + 2 \left(3 x - 2\right) e^{3 x} + 3 \left(3 x - 1\right) e^{3 x} - 1\right) e^{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=W(316e32)3+12x_{1} = \frac{W\left(\frac{3}{16 e^{\frac{3}{2}}}\right)}{3} + \frac{1}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[W(316e32)3+12,∞)\left[\frac{W\left(\frac{3}{16 e^{\frac{3}{2}}}\right)}{3} + \frac{1}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,W(316e32)3+12]\left(-\infty, \frac{W\left(\frac{3}{16 e^{\frac{3}{2}}}\right)}{3} + \frac{1}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(((x−1)e3x−1)ex)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\left(x - 1\right) e^{3 x} - 1\right) e^{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(((x−1)e3x−1)ex)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(\left(x - 1\right) e^{3 x} - 1\right) e^{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-1 + (-1 + x)*exp(3*x))*exp(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(((x−1)e3x−1)exx)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\left(x - 1\right) e^{3 x} - 1\right) e^{x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(((x−1)e3x−1)exx)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\left(x - 1\right) e^{3 x} - 1\right) e^{x}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
((x−1)e3x−1)ex=((−x−1)e−3x−1)e−x\left(\left(x - 1\right) e^{3 x} - 1\right) e^{x} = \left(\left(- x - 1\right) e^{- 3 x} - 1\right) e^{- x}
- No
((x−1)e3x−1)ex=−((−x−1)e−3x−1)e−x\left(\left(x - 1\right) e^{3 x} - 1\right) e^{x} = - \left(\left(- x - 1\right) e^{- 3 x} - 1\right) e^{- x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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