Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ exp((1/sin(x)))

Gráfico de la función y = exp((1/sin(x)))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          1   
        ------
        sin(x)
f(x) = e
f(x)=e1sin⁡(x)f{\left(x \right)} = e^{\frac{1}{\sin{\left(x \right)}}} 
f = exp(1/sin(x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101002e244
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
x2=3.14159265358979x_{2} = 3.14159265358979
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
e1sin⁡(x)=0e^{\frac{1}{\sin{\left(x \right)}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en exp(1/sin(x)).
e1sin⁡(0)e^{\frac{1}{\sin{\left(0 \right)}}}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−e1sin⁡(x)cos⁡(x)sin⁡2(x)=0- \frac{e^{\frac{1}{\sin{\left(x \right)}}} \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
Signos de extremos en los puntos:
 -pi    -1 
(----, e  )
  2        

 pi    
(--, E)
 2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
Puntos máximos de la función:
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,−π2]∪[π2,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−π2,π2]\left[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(1+2cos⁡2(x)sin⁡2(x)+cos⁡2(x)sin⁡3(x))e1sin⁡(x)sin⁡(x)=0\frac{\left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}\right) e^{\frac{1}{\sin{\left(x \right)}}}}{\sin{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
x2=3.14159265358979x_{2} = 3.14159265358979
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞e1sin⁡(x)y = \lim_{x \to -\infty} e^{\frac{1}{\sin{\left(x \right)}}}
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞e1sin⁡(x)y = \lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{\sin{\left(x \right)}}}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función exp(1/sin(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(e1sin⁡(x)x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{\frac{1}{\sin{\left(x \right)}}}}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(e1sin⁡(x)x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{\frac{1}{\sin{\left(x \right)}}}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
e1sin⁡(x)=e−1sin⁡(x)e^{\frac{1}{\sin{\left(x \right)}}} = e^{- \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}}
- No
e1sin⁡(x)=−e−1sin⁡(x)e^{\frac{1}{\sin{\left(x \right)}}} = - e^{- \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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