Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ exp(-1/(x+13))

Gráfico de la función y = exp(-1/(x+13))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         -1   
        ------
        x + 13
f(x) = e
f(x)=e−1x+13f{\left(x \right)} = e^{- \frac{1}{x + 13}} 
f = exp(-1/(x + 13))
Gráfico de la función
560101520253035404550550.901.00
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−13x_{1} = -13
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
e−1x+13=0e^{- \frac{1}{x + 13}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en exp(-1/(x + 13)).
e−113e^{- \frac{1}{13}}
Resultado:
f(0)=e−113f{\left(0 \right)} = e^{- \frac{1}{13}}
Punto:
(0, exp(-1/13))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
e−1x+13(x+13)2=0\frac{e^{- \frac{1}{x + 13}}}{\left(x + 13\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(−2+1x+13)e−1x+13(x+13)3=0\frac{\left(-2 + \frac{1}{x + 13}\right) e^{- \frac{1}{x + 13}}}{\left(x + 13\right)^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−252x_{1} = - \frac{25}{2}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−13x_{1} = -13

lim⁡x→−13−((−2+1x+13)e−1x+13(x+13)3)=∞\lim_{x \to -13^-}\left(\frac{\left(-2 + \frac{1}{x + 13}\right) e^{- \frac{1}{x + 13}}}{\left(x + 13\right)^{3}}\right) = \infty
lim⁡x→−13+((−2+1x+13)e−1x+13(x+13)3)=0\lim_{x \to -13^+}\left(\frac{\left(-2 + \frac{1}{x + 13}\right) e^{- \frac{1}{x + 13}}}{\left(x + 13\right)^{3}}\right) = 0
- los límites no son iguales, signo
x1=−13x_{1} = -13
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−252]\left(-\infty, - \frac{25}{2}\right]
Convexa en los intervalos
[−252,∞)\left[- \frac{25}{2}, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−13x_{1} = -13
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞e−1x+13=1\lim_{x \to -\infty} e^{- \frac{1}{x + 13}} = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡x→∞e−1x+13=1\lim_{x \to \infty} e^{- \frac{1}{x + 13}} = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función exp(-1/(x + 13)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(e−1x+13x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{- \frac{1}{x + 13}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(e−1x+13x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{- \frac{1}{x + 13}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
e−1x+13=e−113−xe^{- \frac{1}{x + 13}} = e^{- \frac{1}{13 - x}}
- No
e−1x+13=−e−113−xe^{- \frac{1}{x + 13}} = - e^{- \frac{1}{13 - x}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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