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Trazado el gráfico de la función/ exp(-1/2-lambertw(-exp(-1)/x)/2)

Gráfico de la función y = exp(-1/2-lambertw(-exp(-1)/x)/2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
               /  -1 \
               |-e   |
              W|-----|
          1    \  x  /
        - - - --------
          2      2    
f(x) = e
f(x)=e−W((−1)e−1x)2−12f{\left(x \right)} = e^{- \frac{W\left(\frac{\left(-1\right) e^{-1}}{x}\right)}{2} - \frac{1}{2}} 
f = exp(-LambertW((-exp(-1))/x)/2 - 1/2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.01.0
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
e−W((−1)e−1x)2−12=0e^{- \frac{W\left(\frac{\left(-1\right) e^{-1}}{x}\right)}{2} - \frac{1}{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en exp(-1/2 - LambertW((-exp(-1))/x)/2).
e−12−W((−1)e−10)2e^{- \frac{1}{2} - \frac{W\left(\frac{\left(-1\right) e^{-1}}{0}\right)}{2}}
Resultado:
f(0)=e−W(∞~)2−12f{\left(0 \right)} = e^{- \frac{W\left(\tilde{\infty}\right)}{2} - \frac{1}{2}}
Punto:
(0, exp(-1/2 - LambertW(±oo)/2))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
e−W((−1)e−1x)2−12W((−1)e−1x)2x(W((−1)e−1x)+1)=0\frac{e^{- \frac{W\left(\frac{\left(-1\right) e^{-1}}{x}\right)}{2} - \frac{1}{2}} W\left(\frac{\left(-1\right) e^{-1}}{x}\right)}{2 x \left(W\left(\frac{\left(-1\right) e^{-1}}{x}\right) + 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞e−W((−1)e−1x)2−12=e−12\lim_{x \to -\infty} e^{- \frac{W\left(\frac{\left(-1\right) e^{-1}}{x}\right)}{2} - \frac{1}{2}} = e^{- \frac{1}{2}}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=e−12y = e^{- \frac{1}{2}}
lim⁡x→∞e−W((−1)e−1x)2−12=e−12\lim_{x \to \infty} e^{- \frac{W\left(\frac{\left(-1\right) e^{-1}}{x}\right)}{2} - \frac{1}{2}} = e^{- \frac{1}{2}}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=e−12y = e^{- \frac{1}{2}}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función exp(-1/2 - LambertW((-exp(-1))/x)/2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(e−W((−1)e−1x)2−12x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{- \frac{W\left(\frac{\left(-1\right) e^{-1}}{x}\right)}{2} - \frac{1}{2}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(e−W((−1)e−1x)2−12x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{- \frac{W\left(\frac{\left(-1\right) e^{-1}}{x}\right)}{2} - \frac{1}{2}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
e−W((−1)e−1x)2−12=e−W(1ex)2−12e^{- \frac{W\left(\frac{\left(-1\right) e^{-1}}{x}\right)}{2} - \frac{1}{2}} = e^{- \frac{W\left(\frac{1}{e x}\right)}{2} - \frac{1}{2}}
- No
e−W((−1)e−1x)2−12=−e−W(1ex)2−12e^{- \frac{W\left(\frac{\left(-1\right) e^{-1}}{x}\right)}{2} - \frac{1}{2}} = - e^{- \frac{W\left(\frac{1}{e x}\right)}{2} - \frac{1}{2}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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