Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 2*log((x+4)/x)-2

Gráfico de la función y = 2*log((x+4)/x)-2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            /x + 4\    
f(x) = 2*log|-----| - 2
            \  x  /
f(x)=2log⁡(x+4x)−2f{\left(x \right)} = 2 \log{\left(\frac{x + 4}{x} \right)} - 2 
f = 2*log((x + 4)/x) - 2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2020
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2log⁡(x+4x)−2=02 \log{\left(\frac{x + 4}{x} \right)} - 2 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=4−1+ex_{1} = \frac{4}{-1 + e}
Solución numérica
x1=2.32790682747731x_{1} = 2.32790682747731
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 2*log((x + 4)/x) - 2.
2log⁡(40)−22 \log{\left(\frac{4}{0} \right)} - 2
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x(1x−x+4x2)x+4=0\frac{2 x \left(\frac{1}{x} - \frac{x + 4}{x^{2}}\right)}{x + 4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(1−x+4x)(−1x+4−1x)x+4=0\frac{2 \left(1 - \frac{x + 4}{x}\right) \left(- \frac{1}{x + 4} - \frac{1}{x}\right)}{x + 4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2x_{1} = -2
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(2(1−x+4x)(−1x+4−1x)x+4)=∞\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(1 - \frac{x + 4}{x}\right) \left(- \frac{1}{x + 4} - \frac{1}{x}\right)}{x + 4}\right) = \infty
lim⁡x→0+(2(1−x+4x)(−1x+4−1x)x+4)=∞\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(1 - \frac{x + 4}{x}\right) \left(- \frac{1}{x + 4} - \frac{1}{x}\right)}{x + 4}\right) = \infty
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−2,∞)\left[-2, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−2]\left(-\infty, -2\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(2log⁡(x+4x)−2)=−2\lim_{x \to -\infty}\left(2 \log{\left(\frac{x + 4}{x} \right)} - 2\right) = -2
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−2y = -2
lim⁡x→∞(2log⁡(x+4x)−2)=−2\lim_{x \to \infty}\left(2 \log{\left(\frac{x + 4}{x} \right)} - 2\right) = -2
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=−2y = -2
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2*log((x + 4)/x) - 2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(2log⁡(x+4x)−2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \log{\left(\frac{x + 4}{x} \right)} - 2}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(2log⁡(x+4x)−2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \log{\left(\frac{x + 4}{x} \right)} - 2}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
2log⁡(x+4x)−2=2log⁡(−4−xx)−22 \log{\left(\frac{x + 4}{x} \right)} - 2 = 2 \log{\left(- \frac{4 - x}{x} \right)} - 2
- No
2log⁡(x+4x)−2=2−2log⁡(−4−xx)2 \log{\left(\frac{x + 4}{x} \right)} - 2 = 2 - 2 \log{\left(- \frac{4 - x}{x} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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